භ්‍රමණ චලිතය: ව්‍යාවර්තය, අවස්ථිති ඝූර්ණය හා කෝණික ගම්‍යතාව
ඒකාකාර කෝණික ත්වරණයේ සමීකරණ, ව්‍යාවර්තය හා τ = Iα, අවස්ථිති ඝූර්ණය, භ්‍රමණ චාලක ශක්තිය, පෙරළීම සහ කෝණික ගම්‍යතා සංස්ථිතිය.
කෝණික රාශි හා ඒවායේ සමීකරණ
අචල අක්ෂයක් වටා සිදු වන භ්‍රමණයේ ව්‍යුහය, සරල රේඛීය චලිතයේ ව්‍යුහයට සමාන වේ.
කෝණික ත්වරණය $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$ (ඒකකය $\text{rad s}^{-2}$) නියත නම්: $$\omega = \omega_0 + \alpha t \qquad \theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2 \qquad \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$$ අක්ෂයේ සිට $r$ දුරින් පිහිටි ලක්ෂ්‍යයක ස්පර්ශීය වේගය $v = r\omega$ ද, ස්පර්ශීය ත්වරණය $a = r\alpha$ ද වේ.
ව්‍යාවර්තය (Torque) හා අවස්ථිති ඝූර්ණය (Moment of Inertia)
අක්ෂය වටා $F$ බලයක ව්‍යාවර්තය (ඝූර්ණය) $\tau = Fr\sin\phi$ වේ; මෙහි $\phi$ යනු $F$ සහ අරය $r$ අතර කෝණය යි. නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමයේ භ්‍රමණ ආකාරය මෙසේ ය: $$\tau = I\alpha$$ මෙහි අවස්ථිති ඝූර්ණය $I = \sum m r^2$ මගින් දැක්වෙන්නේ, වස්තුවක භ්‍රමණය වෙනස් කිරීම කෙතරම් අපහසු ද යන්නයි. එය රඳා පවතින්නේ ස්කන්ධය මත පමණක් නොව, ස්කන්ධය අක්ෂයේ සිට කෙතරම් දුරින් පිහිටා ඇත්ද යන්න මත ද ය.
| වස්තුව (ස්කන්ධය $M$) | අක්ෂය | $I$ |
|---|---|---|
| සිහින් මුද්ද, අරය $R$ | කේන්ද්‍රය හරහා, තලයට ලම්බක | $MR^2$ |
| ඒකාකාර තැටිය හෝ සිලින්ඩරය, අරය $R$ | කේන්ද්‍රය හරහා, සමමිති අක්ෂය දිගේ | $\tfrac{1}{2}MR^2$ |
| ඝන ගෝලය, අරය $R$ | කේන්ද්‍රය හරහා | $\tfrac{2}{5}MR^2$ |
| සිහින් දණ්ඩ, දිග $L$ | මැද හරහා, ලම්බක | $\tfrac{1}{12}ML^2$ |
| සිහින් දණ්ඩ, දිග $L$ | එක් කෙළවරක් හරහා, ලම්බක | $\tfrac{1}{3}ML^2$ |
උදාහරණය: $I = 8\ \text{kg m}^2$ වූ තැටියක කෝණික ප්‍රවේගය, නියත ව්‍යාවර්තයක් යටතේ $10\ \text{s}$ කින් $40$ සිට $20\ \text{rad s}^{-1}$ දක්වා අඩු වේ. එවිට $\alpha = \dfrac{20 - 40}{10} = -2\ \text{rad s}^{-2}$ වන අතර $|\tau| = I|\alpha| = 16\ \text{N m}$. (2024 I පත්‍රයේ ප්‍රශ්නයකි.)
භ්‍රමණ චාලක ශක්තිය හා පෙරළීම
භ්‍රමණය වන වස්තුවකට $\tfrac{1}{2}I\omega^2$ චාලක ශක්තියක් ඇත. නොලිස්සා පෙරළෙන වස්තුවක් ඉදිරියට ගමන් කරන අතර ම කැරකෙයි; එහි $v = r\omega$ වේ. එවිට: $$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$$ $h$ උසක සිට බෑවුමක් දිගේ පෙරළෙන විට $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2\left(1 + \dfrac{I}{mr^2}\right)$ වේ. එබැවින් ස්කන්ධය හා අරය කුමක් වුව ද, ඝන ගෝලයක් ($\tfrac{I}{mr^2} = \tfrac{2}{5}$) තැටියකට ($\tfrac{1}{2}$) වඩා පළමුව ද, තැටිය මුද්දකට ($1$) වඩා පළමුව ද බෑවුමේ පහළට ළඟා වේ.
පෙරළෙන රෝදයක බිම ස්පර්ශ වන ලක්ෂ්‍යය මොහොතකට නිසල වේ. රෝදයේ කේන්ද්‍රය $v$ වේගයෙන් ද, දාරයේ ඉහළම ලක්ෂ්‍යය $2v$ වේගයෙන් ද චලනය වේ.
කෝණික ගම්‍යතාව (Angular Momentum)
කෝණික ගම්‍යතාව $L = I\omega$ (ඒකකය $\text{kg m}^2\text{s}^{-1}$). සම්ප්‍රයුක්ත ව්‍යාවර්තය එහි වෙනස් වන ශීඝ්‍රතාවට සමාන වේ: $\tau = \dfrac{dL}{dt}$. බාහිර ව්‍යාවර්තයක් නැති විට: $$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$$ අත් හකුළා ගන්නා අයිස් ස්කේටර් ක්‍රීඩකයෙකුගේ $I$ අඩු වන නිසා එම ක්‍රීඩකයා වඩා වේගයෙන් කැරකේ. කිමිදෙන්නෙක් ඉක්මනින් කැරකීමට ශරීරය හකුළා ගන්නා අතර, ජලයට ඇතුළු වීමට පෙර ශරීරය දිග හරියි. කැරකෙන තැටියක් මතට කුඩා ස්කන්ධයක් වැටුණු විට $I$ වැඩි වී $\omega$ අඩු වේ. එහි දී චාලක ශක්තියෙන් කොටසක් නැති වුව ද, කෝණික ගම්‍යතාව සංස්ථිතිකව පවතී.
උදාහරණය: පන්දු යවන යන්ත්‍රයක, බෝලය ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවලින් ග්‍රහණය කරන රෝද දෙකක් ඇත; ඒවායේ දාරවල වේග $v_1$ හා $v_2$ වේ. බෝලය පිටතට පැමිණෙන්නේ $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ රේඛීය වේගයෙනුත්, $\dfrac{v_1 - v_2}{2r}$ කෝණික වේගයෙන් වන කැරකීමකිනුත් ය. රෝදවල වේග සමාන නම්, කැරකීමක් නැති වේගවත් බෝලයක් ලැබේ. (2023 II පත්‍රයේ රචනා ප්‍රශ්නයේ පදනම වූ අදහසයි.)