භෞතික රාශි, SI ඒකක හා මාන (Dimensions)

ඒකකය 1 · මිනුම්

මූලික හා ව්‍යුත්පන්න රාශි, SI ඒකක හා උපසර්ග, මාන සහ මාන විශ්ලේෂණයෙන් සමීකරණ පරීක්ෂා කිරීම.

මූලික (Base) හා ව්‍යුත්පන්න (Derived) රාශි

භෞතික රාශියක් (Physical Quantity) යනු මැනිය හැකි, සංඛ්‍යාවක් හා ඒකකයක් සහිත ඕනෑම රාශියකි; උදා: $5.0\ \text{kg}$. SI ක්‍රමයේ සෑම ඒකකයක් ම ගොඩනැගෙන්නේ මූලික ඒකක (Base Units) හතෙනි:

මූලික රාශිය	SI ඒකකය	සංකේතය	මානය
ස්කන්ධය (Mass)	කිලෝග්‍රෑම්	kg	M
දිග (Length)	මීටරය	m	L
කාලය (Time)	තත්පරය	s	T
විද්‍යුත් ධාරාව (Current)	ඇම්පියරය	A	I
තාපගතික උෂ්ණත්වය (Temperature)	කෙල්වින්	K	θ
ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණය (Amount of Substance)	මවුලය	mol	N
දීප්ත තීව්‍රතාව (Luminous Intensity)	කැන්ඩෙලා	cd	J

ව්‍යුත්පන්න රාශියක් මූලික රාශි ඇසුරෙන් සමීකරණයකින් අර්ථ දැක්වේ. එහි ඒකකය එම සමීකරණයෙන් ම ලැබේ:

• ප්‍රවේගය (Velocity) $= \dfrac{\text{විස්ථාපනය}}{\text{කාලය}}$, ඒකකය $\text{m s}^{-1}$
• බලය (Force) $= ma$, ඒකකය $\text{kg m s}^{-2}$, නිව්ටනය (N) ලෙස නම් කර ඇත
• පීඩනය (Pressure) $= \dfrac{F}{A}$, ඒකකය $\text{N m}^{-2} = \text{kg m}^{-1}\text{s}^{-2}$, පැස්කලය (Pa)
• ආරෝපණය (Charge) $= It$, ඒකකය $\text{A s}$, කූලෝමය (C)

උපසර්ග (Prefixes)

උපසර්ගය	සංකේතය	ගුණකය	උපසර්ගය	සංකේතය	ගුණකය
ටෙරා	T	$10^{12}$	මිලි	m	$10^{-3}$
ගිගා	G	$10^{9}$	මයික්‍රෝ	μ	$10^{-6}$
මෙගා	M	$10^{6}$	නැනෝ	n	$10^{-9}$
කිලෝ	k	$10^{3}$	පිකෝ	p	$10^{-12}$

පරිස්සම්: $1\ \text{cm}^2 = (10^{-2}\ \text{m})^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$ සහ $1\ \text{mm}^3 = 10^{-9}\ \text{m}^3$. උපසර්ගය ද බලයට නැංවිය යුතු ය.

මාන (Dimensions)

රාශියක මාන මගින් එය මූලික රාශි මත රඳා පවතින ආකාරය පෙන්වයි. හතරැස් වරහන් මගින් "හි මාන" යන්න දැක්වේ:

• $[v] = \text{LT}^{-1}$, $[a] = \text{LT}^{-2}$
• $[F] = [m][a] = \text{MLT}^{-2}$
• $[W] = [F][s] = \text{ML}^2\text{T}^{-2}$ (කාර්යය, ශක්තිය, තාපය)
• $[P] = \text{ML}^2\text{T}^{-3}$ (ක්ෂමතාව), $[p] = \text{ML}^{-1}\text{T}^{-2}$ (පීඩනය, ප්‍රත්‍යාබලය (Stress), යං මාපාංකය)

පිරිසිදු සංඛ්‍යාවක්, රේඩියනවලින් කෝණයක් ($\theta = \dfrac{\text{චාපය}}{\text{අරය}}$), වික්‍රියාව (Strain) හා වර්තනාංකය මාන රහිත ය. ඒකකයක් තිබුණත් මාන නැති රාශි ද ඇත. රේඩියනය එවැන්නකි; ඩෙසිබෙල්වලින් දෙන ධ්වනි තීව්‍රතා මට්ටම ද එසේ ය.

මාන විශ්ලේෂණය (Dimensional Analysis) භාවිතය

1. සමීකරණයක් පරීක්ෂා කිරීම. සෑම පදයකට ම එක ම මාන තිබිය යුතු ය. $s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$ හි: $[s] = \text{L}$, $[ut] = \text{LT}^{-1}\cdot\text{T} = \text{L}$, $[at^2] = \text{LT}^{-2}\cdot\text{T}^2 = \text{L}$. සමීකරණය මාන අනුව සංගත ය. $\tfrac{1}{2}$ නිවැරදි දැයි මාන මගින් පෙන්විය නොහැකි ය.

2. නියතයක මාන සෙවීම. $F = 6\pi\eta r v$ (ස්ටෝක්ස් නියමය) මගින්: $[\eta] = \dfrac{[F]}{[r][v]} = \dfrac{\text{MLT}^{-2}}{\text{L}\cdot\text{LT}^{-1}} = \text{ML}^{-1}\text{T}^{-1}$; එබැවින් $\eta$ හි ඒකකය $\text{kg m}^{-1}\text{s}^{-1} = \text{Pa s}$.

3. සම්බන්ධතාවක ආකාරය අනුමාන කිරීම. සරල අවලම්බයක ආවර්ත කාලය $m$, $l$ හා $g$ මත රඳා පවතී යැයි සිතමු: $T = k,m^x l^y g^z$. $$\text{T} = \text{M}^x,\text{L}^y,(\text{LT}^{-2})^z$$ ඝාත සසඳා බැලූ විට: M මගින් $x = 0$; T මගින් $-2z = 1$, එනම් $z = -\tfrac{1}{2}$; L මගින් $y + z = 0$, එනම් $y = \tfrac{1}{2}$. එබැවින් $T = k\sqrt{l/g}$. පරීක්ෂණයෙන් $k = 2\pi$ ලෙස ලැබේ.

උදාහරණය: නළයක් තුළින් ගලා යන ද්‍රවයක වේගය $v = \dfrac{C a^n \Delta p}{\eta l}$ ලෙස ලියා ඇත; $C$ මාන රහිත ය. එවිට $\text{LT}^{-1} = \dfrac{\text{L}^n\cdot\text{ML}^{-1}\text{T}^{-2}}{\text{ML}^{-1}\text{T}^{-1}\cdot \text{L}} = \text{L}^{n-1}\text{T}^{-1}$; එබැවින් $n - 1 = 1$, $n = 2$. (2023 I පත්‍රයේ ප්‍රශ්නයකි.)

Exam tip: I පත්‍රයේ දී මුලින් ම එක් එක් සංකේතයේ මාන පැත්තක ලියන්න. "කුමන සමීකරණය නිවැරදි ද" වැනි බොහෝ ප්‍රශ්න එවිට එක් පේළියකින් විසඳිය හැකි ය.

අදිශ (Scalars) හා දෛශික (Vectors)

අදිශයකට ඇත්තේ විශාලත්වය පමණි (ස්කන්ධය, කාලය, ශක්තිය, උෂ්ණත්වය). දෛශිකයකට විශාලත්වය හා දිශාව දෙක ම ඇත (විස්ථාපනය, ප්‍රවේගය, බලය, ගම්‍යතාව, ක්ෂේත්‍ර තීව්‍රතාව). විශාලත්ව $a$ හා $b$ වූ දෛශික දෙකක සම්ප්‍රයුක්තය (Resultant) $|a - b|$ හා $a + b$ අතර පිහිටයි: $9\ \text{m}$ හා $6\ \text{m}$ මගින් $4\ \text{m}$ ලැබිය හැකි නමුත් $2\ \text{m}$ හෝ $16\ \text{m}$ ලැබිය නොහැකි ය.