දෛශික, එකතු කිරීම සහ සංරචක
දෛශික සහ අදිශ වෙන් කර, ත්‍රිකෝණ සහ සමාන්තරාස්‍ර නීති මගින් දෛශික එකතු කර අඩු කර, $a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$, විශාලත්වය සහ ඒකක දෛශික සමඟ ක්‍රියා කරන ආකාරය.
අදිශ සහ දෛශික
අදිශයක් අංකයකින් (ඒකකයක් සහිතව) පමණක් විස්තර වේ: ස්කන්ධය $5\ \text{kg}$, කාලය $3\ \text{s}$, වේගය $20\ \text{m s}^{-1}$. දෛශිකයකට දිශාවක් ද අවශ්‍ය වේ: උතුරට $5\ \text{m}$ විස්ථාපනයක්, ප්‍රවේගයක්, බලයක්.
දෛශිකයක් ඊතලයකින් දක්වයි. $A$ සිට $B$ දක්වා ඊතලය $\overrightarrow{AB}$ ලෙස ලියයි; $A$ වලිගය ද $B$ හිස ද වේ. තනි තද අකුරක් වන $\mathbf{a}$ ද (අතින් ලිවීමේ දී $\underline{a}$) භාවිත කරයි. විශාලත්වය $|\overrightarrow{AB}|$ හෝ $|\mathbf{a}|$ යනු ඊතලයේ දිගයි. විශාලත්වය සහ දිශාව සමාන නම්, ඒවා කොතැනක ඇඳ තිබුණ ද දෛශික දෙකක් සමාන වේ. $-\mathbf{a}$ දෛශිකයට $\mathbf{a}$ හි විශාලත්වය ම ඇති නමුත් දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ ය; එබැවින් $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
දෛශික එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම
ත්‍රිකෝණ නීතිය. $\mathbf{b}$ හි වලිගය $\mathbf{a}$ හි හිසෙහි තබන්න; එවිට $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ යනු $\mathbf{a}$ හි වලිගයේ සිට $\mathbf{b}$ හි හිස දක්වා දෛශිකයයි. සංකේතවලින්, $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$$ සමාන්තරාස්‍ර නීතිය. $\mathbf{a}$ සහ $\mathbf{b}$ එක ලක්ෂ්‍යයකින් ඇඳ ඇත්නම්, $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ යනු ඒවා මත ඇඳි සමාන්තරාස්‍රයේ විකර්ණය වේ. නීති දෙකෙන් ම ලැබෙන්නේ එක ම දෛශිකය බැවින් $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$ වේ.
අඩු කිරීම යනු ප්‍රතිවිරුද්ධය එකතු කිරීමයි: $\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})$. සමාන්තරාස්‍රයේ අනෙක් විකර්ණය $\mathbf{b} - \mathbf{a}$ වන අතර, එය $\mathbf{a}$ හි හිසේ සිට $\mathbf{b}$ හි හිස දක්වා යයි.
අදිශ ගුණාකාර. තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් $\lambda$ සඳහා $\lambda\mathbf{a}$ යනු $\mathbf{a}$ ට සමාන්තර, විශාලත්වය $|\lambda||\mathbf{a}|$ වූ දෛශිකයයි; $\lambda > 0$ නම් එකම දිශාවට ද $\lambda < 0$ නම් ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට ද යොමු වේ. සුපුරුදු නීති ඒ ආකාරයෙන් ම වලංගු ය: $\lambda(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \lambda\mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$ සහ $(\lambda + \mu)\mathbf{a} = \lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{a}$.
උදාහරණය: $ABCD$ සමාන්තරාස්‍රයක $\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$, $\overrightarrow{AD} = \mathbf{b}$ ද $M$ යනු $BC$ හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ද වේ. $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$ සහ $\overrightarrow{AM}$ යන්න $\mathbf{a}$ සහ $\mathbf{b}$ ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කරන්න. $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \mathbf{b}$ නිසා: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$. $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$. $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}\mathbf{b}$.
සංරචක: i සහ j
$\mathbf{i}$ සහ $\mathbf{j}$ යනු ධන $x$- සහ $y$-අක්ෂ දිගේ ඒකක දෛශික (විශාලත්වය $1$) යැයි ගනිමු. ඕනෑම තල දෛශිකයක් මෙසේ ලිවිය හැක: $$\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}, \qquad |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$ මෙහි $x$ සහ $y$ සංරචක වේ. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම සහ ගුණ කිරීම සංරචක අනුව කරයි: $$(x_1\mathbf{i} + y_1\mathbf{j}) + (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j}) = (x_1 + x_2)\mathbf{i} + (y_1 + y_2)\mathbf{j}, \qquad \lambda(x\mathbf{i} + y\mathbf{j}) = \lambda x,\mathbf{i} + \lambda y,\mathbf{j}.$$ දෛශික දෙකක $\mathbf{i}$-සංරචක සමාන වන අතර $\mathbf{j}$-සංරචක ද සමාන වන විට පමණක් ඒවා සමාන වේ. $\mathbf{a}$ දෛශිකය ධන $x$-අක්ෂය සමඟ $\theta$ කෝණයක් සාදයි නම්, $\mathbf{a} = |\mathbf{a}|\cos\theta,\mathbf{i} + |\mathbf{a}|\sin\theta,\mathbf{j}$.
ඒකක දෛශික
විශාලත්වය $1$ වූ දෛශිකයක් ඒකක දෛශිකයකි. ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම දෛශිකයක් එහි විශාලත්වයෙන් බෙදූ විට, එහි දිශාවේ ඒකක දෛශිකය ලැබේ: $$\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.$$ එබැවින් $\mathbf{a}$ දිශාවේ විශාලත්වය $k$ වූ දෛශිකය $k\hat{\mathbf{a}}$ වේ.
උදාහරණය: $\mathbf{a} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ සහ $\mathbf{b} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j}$ යැයි ගනිමු. $2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} = (6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}) - (3\mathbf{i} - 6\mathbf{j}) = 3\mathbf{i} + 14\mathbf{j}$. තවද $|\mathbf{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5$ නිසා $\hat{\mathbf{a}} = \dfrac{3}{5}\mathbf{i} + \dfrac{4}{5}\mathbf{j}$ වන අතර, $\mathbf{a}$ දිශාවේ විශාලත්වය $10$ වූ දෛශිකය $6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ වේ.
උදාහරණය: බෝට්ටුවක් මුලින් $\overrightarrow{PQ} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ ද පසුව $\overrightarrow{QR} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}$ ද (km වලින්) ගමන් කරයි. ත්‍රිකෝණ නීතියෙන් එහි මුළු විස්ථාපනය $\overrightarrow{PR} = 4\mathbf{i} + 7\mathbf{j}$ වන බැවින්, එය ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයේ සිට $|\overrightarrow{PR}| = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\ \text{km}$ දුරකින් නතර වේ.
Exam tip: A කොටසේ ප්‍රශ්න බොහෝවිට "$\overrightarrow{AM}$ යන්න $\mathbf{a}$ සහ $\mathbf{b}$ ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කරන්න" ලෙස අසයි. $A$ සිට $M$ දක්වා, දැනටමත් දන්නා දාර පමණක් භාවිතයෙන් මාර්ගයක් තෝරා, සෑම පියවරක් ම ත්‍රිකෝණ නීතියෙන් ලියන්න; මැද ලක්ෂ්‍යයක් ඇති විට දාරයෙන් $\tfrac{1}{2}$ ක් ගන්න. අකුරු පිළිවෙළ රකින්න: $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$ වන අතර $\overrightarrow{BA}$ යනු $-\mathbf{a}$ ය, $\mathbf{a}$ නොවේ.