වෘත්ත දෙකක්: පිහිටීම, පොදු ජ්‍යාව සහ ස්පර්ශය
ඒකකය 27 · වෘත්තය: ජ්‍යාමිතික ගුණ
කේන්ද්‍ර අතර දුරෙන් වෘත්ත දෙකක පිහිටීම තීරණය කිරීම, පොදු ජ්‍යාව හෝ ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ පොදු ස්පර්ශකය සෙවීම.
වෘත්ත දෙකක් පිහිටිය හැකි ආකාර
කේන්ද්‍ර $C_1$, $C_2$ සහ අරයන් $r_1$, $r_2$ වූ වෘත්ත දෙකක් සලකා, කේන්ද්‍ර අතර දුර $d = C_1C_2$ යැයි ගනිමු. $d$ යන්න $r_1 + r_2$ එකතුව සහ $|r_1 - r_2|$ අන්තරය සමඟ සසඳන්න.
| කොන්දේසිය | පිහිටීම | පොදු ස්පර්ශක |
|---|---|---|
| $d > r_1 + r_2$ | වෙන් වී ඇත | $4$ |
| $d = r_1 + r_2$ | බාහිරව ස්පර්ශ වේ | $3$ |
| $\lvert r_1 - r_2 \rvert < d < r_1 + r_2$ | ලක්ෂ්‍ය දෙකකින් ඡේදනය වේ | $2$ |
| $d = \lvert r_1 - r_2 \rvert$ | අභ්‍යන්තරව ස්පර්ශ වේ | $1$ |
| $d < \lvert r_1 - r_2 \rvert$ | එකක් අනෙකට ඇතුළත ය | $0$ |
මුලින් සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් සෑම වෘත්තයකම කේන්ද්‍රය සහ අරය සොයා, පසුව දුර සූත්‍රයෙන් $d$ සොයන්න.
උදාහරණය: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ සහ $x^2 + y^2 - 8x - 12y + 48 = 0$ බාහිරව ස්පර්ශ වන බව පෙන්වා ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය සොයන්න. පළමුවැන්නේ කේන්ද්‍රය $(1, 2)$, $r_1 = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. දෙවැන්නේ කේන්ද්‍රය $(4, 6)$, $r_2 = \sqrt{16 + 36 - 48} = 2$. එවිට $d = \sqrt{9 + 16} = 5 = r_1 + r_2$; එබැවින් ඒවා බාහිරව ස්පර්ශ වේ. ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය $C_1C_2$ ට $r_1 : r_2 = 3 : 2$ අනුපාතයෙන් බෙදයි; එබැවින් එය $\left(1 + \tfrac{3}{5}\cdot 3,\ 2 + \tfrac{3}{5}\cdot 4\right) = \left(\tfrac{14}{5}, \tfrac{22}{5}\right)$ වේ.
පොදු ජ්‍යාව සහ පොදු ස්පර්ශකය
$S_1 \equiv x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ සහ $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ යැයි ගනිමු. ඒවායේ අන්තරය $$S_1 - S_2 \equiv 2(g_1 - g_2)x + 2(f_1 - f_2)y + (c_1 - c_2) = 0$$ $x^2$ සහ $y^2$ පද කැපී යන නිසා සරල රේඛාවකි. වෘත්ත දෙකෙහි ම පිහිටි ලක්ෂ්‍යයක $S_1 = 0$ සහ $S_2 = 0$ වන නිසා එය මෙම රේඛාව මත ද පිහිටයි. එබැවින්:
- වෘත්ත $P$ සහ $Q$ හි දී ඡේදනය වේ නම්, $S_1 - S_2 = 0$ යනු $PQ$ රේඛාවයි; එය පොදු ජ්‍යාවයි;
- ඒවා ස්පර්ශ වේ නම්, එකම පොදු ලක්ෂ්‍යය රේඛාව මත පිහිටන අතර රේඛාව එහි දී $C_1C_2$ ට ලම්බ වේ; එබැවින් එය ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ පොදු ස්පර්ශකයයි.
දෙයාකාර අවස්ථාවේ ම රේඛාව කේන්ද්‍ර රේඛාවට ලම්බ වේ ($x$ සහ $y$ හි සංගුණක $C_1C_2$ හි දිශාවට සමානුපාතික ය).
උදාහරණය: $x^2 + y^2 = 25$ සහ $x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0$ ඡේදනය වන බව පෙන්වා, පොදු ජ්‍යාව සහ එහි දිග සොයන්න. දෙවැනි වෘත්තය $(x-6)^2 + y^2 = 25$ ය: කේන්ද්‍රය $(6, 0)$, $r = 5$. එවිට $d = 6$ ද $0 < 6 < 10$ ද නිසා ඒවා ඡේදනය වේ. අඩු කරන්න: $x^2 + y^2 - 25 - (x^2 + y^2 - 12x + 11) = 12x - 36 = 0$; එබැවින් පොදු ජ්‍යාව $x = 3$ වේ. පළමු වෘත්තයේ $x = 3$ ආදේශ කළ විට $y^2 = 16$; ලක්ෂ්‍ය $(3, 4)$ සහ $(3, -4)$ වන අතර ජ්‍යාවේ දිග $8$ වේ.
උදාහරණය: $x^2 + y^2 = 25$ සහ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 75 = 0$ අභ්‍යන්තරව ස්පර්ශ වන බව පෙන්වා පොදු ස්පර්ශකය සොයන්න. පළමුවැන්නේ කේන්ද්‍රය $(0, 0)$, $r_1 = 5$. දෙවැන්නේ කේන්ද්‍රය $(3, 4)$, $r_2 = \sqrt{9 + 16 + 75} = 10$. එවිට $d = 5 = r_2 - r_1$; එබැවින් ඒවා අභ්‍යන්තරව ස්පර්ශ වේ. පොදු ස්පර්ශකය $S_1 - S_2 = 6x + 8y + 50 = 0$, එනම් $3x + 4y + 25 = 0$. ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය $(-3, -4)$ වේ ($(3,4)$ සිට මූල ලක්ෂ්‍යය හරහා යන රේඛාව මත, මූල ලක්ෂ්‍යයේ සිට $5$ දුරින්).
නොදන්නා නියතයක් සහිත ස්පර්ශ කොන්දේසි
වෘත්තයක නොදන්නා නියතයක් ඇති විට, එහි අරය නියතය ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කර, $d$ යන්න $r_1 + r_2$ (බාහිර) හෝ $|r_1 - r_2|$ (අභ්‍යන්තර) ට සමාන කරන්න. ප්‍රශ්නයට අවශ්‍ය අවස්ථාව කුමක් දැයි සොයා ගන්න; ඒ සමඟම මූලයක් යටතේ ඇති රාශිය සෑම විට ධන විය යුතු බව සිහි තබා ගන්න.
Exam tip: I පත්‍රයේ සාමාන්‍ය කාර්යයන් නම් "වෘත්ත දෙක එකිනෙක ස්පර්ශ වන බව පෙන්වන්න" ($d$, $r_1$, $r_2$ සොයා සසඳන්න), "පොදු ජ්‍යාව සහ එහි දිග සොයන්න" සහ "කේන්ද්‍රය ... වන සහ දී ඇති වෘත්තය බාහිරව/අභ්‍යන්තරව ස්පර්ශ කරන වෘත්තයේ සමීකරණය සොයන්න" යන්නයි. බාහිර ස්පර්ශයේ දී අරයන්ගේ එකතුව ද අභ්‍යන්තර ස්පර්ශයේ දී ඒවායේ අන්තරය ද භාවිත වන බව මතක තබා ගන්න. "ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේ පොදු ස්පර්ශකයේ සමීකරණය සොයන්න" යැයි ඇසුවහොත් $S_1 - S_2 = 0$ මගින් මුලින් ලක්ෂ්‍යය සෙවීම ඉතිරි කර ගත හැකි ය.