එල්ලෙන වස්තු, පෙරළීම සහ ස්ථායිතාව
එල්ලෙන ආස්තරයක ආනත කෝණය සොයා ගැනීමට ද, තලයක් මත වස්තුවක් ලිස්සයි ද පෙරළෙයි ද යන්න තීරණය කිරීමට ද, එහි සමතුලිතතාව ස්ථායි ද යන්න සොයා ගැනීමට ද ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය භාවිත කරන ආකාරය.
බර ක්‍රියා කරන්නේ $G$ හරහා ය
වස්තුවක් මත බලවලට සම්ප්‍රයුක්ත බලයක් සහ සම්ප්‍රයුක්ත ඝූර්ණයක් නැති විට එය සමතුලිතව පවතී. එහි බර ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය $G$ හි ක්‍රියා කරන බැවින් (පෙර පාඩම් දෙකෙන් ලැබෙන) $G$ හි පිහිටීම වස්තුව එල්ලෙන, සිටගන්නා හෝ පෙරළෙන ආකාරය තීරණය කරයි.
ලක්ෂ්‍යයකින් එල්ලෙන වස්තුවක්
ආස්තරයක් ලක්ෂ්‍යයක් $O$ ගෙන් නිදහසේ (සුමට ලෙස) එල්ලා ඇති විට එය මත බල දෙකක් පමණක් ක්‍රියා කරයි: $G$ හි බර $W$ සහ $O$ හි ආතතිය හෝ ප්‍රතික්‍රියාව. මෙම බල දෙක එක ම සිරස් රේඛාවක් දිගේ ක්‍රියා කළ යුතු බැවින්
$OG$ රේඛාව සිරස් වේ.
එබැවින් වස්තුවේ දී ඇති රේඛාවක් සිරස සමඟ සාදන කෝණය සොයා ගැනීමට, වස්තුව තුළ එල්ලන ලක්ෂ්‍යය සහ $G$ සහිත රූපය ඇඳ, එම රේඛාව සහ $OG$ අතර කෝණය සොයන්න. වස්තුව තුළ ඛණ්ඩාංක ගෙන, $O$ මූල ලක්ෂ්‍යය ද රේඛාව $x$-අක්ෂය දිගේ දාරයක් ද $G = (p, q)$ ද නම් දාරය සිරස සමඟ $\theta$ කෝණයක් සාදන අතර $\tan\theta = \dfrac{q}{p}$ වේ.
Example: ඒකාකාර ත්‍රිකෝණාකාර $ABC$ ආස්තරයේ $B$ හි සෘජුකෝණයක් ඇති අතර $BC = 6\ \text{cm}$, $BA = 3\ \text{cm}$ වේ. එය $C$ ගෙන් නිදහසේ එල්ලේ. $B$ මූල ලක්ෂ්‍යය ද $BC$ $x$-අක්ෂය දිගේ ද $BA$ $y$-අක්ෂය දිගේ ද ගන්න. ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය ශීර්ෂවල මධ්‍යන්‍යයයි: $G = \left(\dfrac{0 + 6 + 0}{3}, \dfrac{0 + 0 + 3}{3}\right) = (2, 1)$. $C = (6, 0)$ සිට $G$ දක්වා විස්ථාපනය $(-4, 1)$ වන බැවින් සිරස් වන $CG$ රේඛාව $CB$ සමඟ $\theta$ කෝණයක් සාදන අතර $\tan\theta = \dfrac{1}{4}$ වේ. එබැවින් $CB$ සිරස සමඟ $\theta = \tan^{-1}\tfrac{1}{4} \approx 14.0^\circ$ ක් සාදයි.
වස්තුව තිරස් බලයකින් හෝ තන්තුවකින් ද රඳවා ඇත්නම් $G$ ලක්ෂ්‍යය $O$ ට සිරස් ව පහළින් නොවේ; ඒ වෙනුවට $O$ වටා ඝූර්ණ ගන්න (බරේ ඝූර්ණය $W \times$ ($O$ සිට $G$ ට ඇති තිරස් දුර), අනෙක් ඝූර්ණයෙන් සමතුලිත වේ).
තලයක් මත වස්තුවක ස්ථායිතාව
තිරස් තලයක් මත වස්තුවක් එය ස්පර්ශ කරන්නේ එහි පාදය දිගේ ය. ප්‍රතික්‍රියාව පාදයේ කොතැනක හෝ ක්‍රියා කරන අතර බල දෙක සමතුලිත වීමට එය බර ($G$ හරහා සිරස) සමඟ එක රේඛාවක තිබිය යුතු ය. එය කළ හැක්කේ $G$ හරහා සිරස පාදය ඇතුළත වැටෙන විට පමණි.
- $G$ හරහා සිරස පාදය ඇතුළත වැටේ නම් වස්තුව සමතුලිතව පවතී.
- එය පාදයේ දාරයක් හරහා ම වැටේ නම් වස්තුව එම දාරය වටා පෙරළීමට (භ්‍රමණය වීමට) ආසන්න වේ.
- එය පිටතින් වැටේ නම් වස්තුව පෙරළේ.
$\alpha$ කෝණයකින් ආනත තලයක් මත, බෑවුම වැඩි වන විට $G$ හරහා සිරස වස්තුවට සාපේක්ෂ ව ගමන් කරයි. බෑවුම දිගේ පාද දිග $b$ ද උස $h$ ද වූ ඒකාකාර සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කුට්ටියක $G$ පාදයට $\dfrac{h}{2}$ ඉහළින් ඇති අතර $G$ හරහා සිරස පහළ දාරයට ළඟා වන්නේ $$\tan\alpha = \frac{b/2}{h/2} = \frac{b}{h}$$ වන විට ය. $\tan\alpha = \mu$ වන විට කුට්ටිය ලිස්සයි. එබැවින් $\mu > \dfrac{b}{h}$ නම් එය පළමුව පෙරළේ, $\mu < \dfrac{b}{h}$ නම් පළමුව ලිස්සයි.
Example: ඒකාකාර ඝනකාභයක බෑවුම දිගේ පාද දිග $0.4\ \text{m}$ ද උස $0.6\ \text{m}$ ද වේ. එය රළු තලයක් මත ඇති අතර තලයේ ආනතිය සෙමෙන් වැඩි කෙරේ. කුට්ටිය පෙරළෙන්නේ $\tan\alpha = \dfrac{0.4}{0.6} = \dfrac{2}{3}$ වන විට, එනම් $\alpha \approx 33.7^\circ$ වන විට ය. $\mu = 0.8$ නම් ඊට පෙර එය ලිස්සන්නේ නැත ($\tan\alpha = 0.8$ වන විට පමණක් ලිස්සයි), එබැවින් එය $33.7^\circ$ දී පෙරළේ. $\mu = 0.5$ නම් එය පෙරළීමට පෙර $\tan\alpha = 0.5$, එනම් $\alpha \approx 26.6^\circ$ වන විට ලිස්සයි, එබැවින් එය ලිස්සයි.
Example: බර $200\ \text{N}$, පාද පළල $0.5\ \text{m}$ සහ උස $1.2\ \text{m}$ වූ ඒකාකාර කුට්ටියක් $\mu = 0.6$ වන රළු තිරස් බිමක් මත සිටගෙන ඇත. බිමට $0.8\ \text{m}$ ඉහළින් ඇති ලක්ෂ්‍යයක තිරස් $P$ බලයක් යොදනු ලැබේ. එය පහළ දාරය වටා පෙරළීමට ආසන්න වන්නේ එම දාරය වටා ඝූර්ණ සමතුලිත වන විට ය: $P \times 0.8 = 200 \times 0.25$, එබැවින් $P = 62.5\ \text{N}$. එය ලිස්සන්නට ආසන්න වන්නේ $P = \mu W = 0.6 \times 200 = 120\ \text{N}$ වන විට ය. $62.5 < 120$ බැවින් කුට්ටිය පළමුව පෙරළේ. (බලය $\dfrac{b}{2\mu} = \dfrac{0.5}{1.2} \approx 0.42\ \text{m}$ උසට පහළින් යොදන්නේ නම් එය පළමුව ලිස්සයි.)
ස්ථායි, අස්ථායි සහ උදාසීන සමතුලිතතාව
වස්තුවක් එහි සමතුලිත පිහිටීමෙන් සුළු වශයෙන් විස්ථාපනය කරන්න.
- ස්ථායි: $G$ ඉහළ නැංවෙන අතර බරේ ඝූර්ණය වස්තුව ආපසු හරවයි. උදාහරණය: පාදය තලයක් මත පිහිටි වස්තුවක්, හෝ වක්‍ර පෘෂ්ඨය මත පිහිටි අර්ධ ගෝලයක් (එහි $G$ ගෝලයේ කේන්ද්‍රයට පහළින් ඇත).
- අස්ථායි: $G$ පහළ බසින අතර වස්තුව තවත් ඉවතට ගමන් කරයි (ලක්ෂ්‍යයක් හෝ දාරයක් මත, $G$ ඊට ඉහළින් ඇති ලෙස තුලනය කළ වස්තුවක්).
- උදාසීන: $G$ එම උසෙහි ම පවතින බැවින් වස්තුව නව පිහිටීමේ ම පවතී (තිරස් තලයක් මත ගෝලයක්).
අරය $r$ වූ වක්‍ර පෘෂ්ඨයක් මත පිහිටි වස්තුවක සමතුලිතතාව ස්ථායි වන්නේ $G$ පෘෂ්ඨයේ වක්‍රතා කේන්ද්‍රයට පහළින් ඇති විට ය.
Exam tip: II පත්‍රයේ සාමාන්‍ය ප්‍රශ්න පෙර සොයාගත් ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය භාවිත කරයි: "වස්තුව පෙරළීමෙන් තොරව නිසලව පැවතිය හැකි තලයේ උපරිම ආනතිය සොයන්න", "$\mu < \ldots$ නම් එය පෙරළීමට පෙර ලිස්සන බව පෙන්වන්න" හෝ "ආස්තරය $A$ ගෙන් එල්ලෙන විට දාරය සිරස සමඟ සාදන කෝණය සොයන්න". වස්තුව ඇඳ, $G$ සහ පෙරළෙන දාරය සලකුණු කර, $G$ හරහා සිරස් රේඛාව අඳින්න; එයින් සෑදෙන ත්‍රිකෝණයෙන් කෝණය කෙළින් ම ලැබේ. පෙරළීමේ අවස්ථාව ලිස්සීමේ අවස්ථාව සමඟ ($\tan\alpha$ සහ $\mu$) සැසඳීමට මතක තබා ගන්න.