කරණි නීති, සුළු කිරීම, සංයුග්ම මගින් හරය පරිමේය කිරීම, පරිමේය හා අපරිමේය කොටස් සමාන කිරීම, සහ $7 + 4\sqrt{3}$ වැනි ප්‍රකාශනවල වර්ගමූල.
කරණියක් යනු පරිමේය සංඛ්‍යාවක මූලයක් වන අතර එය ම අපරිමේය වන සංඛ්‍යාවකි: $\sqrt{2}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt[3]{5}$. $\sqrt{9} = 3$ කරණියක් නොවේ, මන්ද එය පරිමේය ය. මේ පාඩමේ $\sqrt{a}$ යන්නෙන් සෑම විට ම අදහස් කරන්නේ ඍණ නොවන වර්ගමූලය යි; එබැවින් $\sqrt{9} = 3$ ($\pm 3$ නොවේ).
$a \geq 0$, $b \geq 0$ සඳහා:
වැරදෙන තැන: $\sqrt{a + b}$ යනු $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස $\sqrt{9 + 16} = 5$ නමුත් $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.
සුළු කිරීම. විශාල ම වර්ග සාධකය පිටතට ගන්න: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. කරණි කොටස සමාන වූ සමාන කරණි (like surds) එකතු කළ හැකි ය: $6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$; නමුත් $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ තනි පදයකට සුළු කළ නොහැකි ය.
හරයේ කරණි නොතිබීම වඩා හොඳ ය; එවිට සංඛ්‍යා සැසඳීමට හා එකතු කිරීමට පහසු වේ.
වර්ගය 1: තනි කරණියක්. $\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
වර්ගය 2: පද දෙකක්. සංයුග්මය (conjugate) භාවිත කරන්න: $p + q\sqrt{n}$ හි සංයුග්මය $p - q\sqrt{n}$ ය (එක් ලකුණක් පමණක් වෙනස් කරන්න). වර්ග දෙකක අන්තරය අනුව ඒවායේ ගුණිතයේ කරණි නැත: $$(p + q\sqrt{n})(p - q\sqrt{n}) = p^2 - q^2 n.$$ එබැවින් $\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
උදාහරණය: $\dfrac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}$ යන්න $p, q$ පරිමේය වූ $p + q\sqrt{2}$ ආකාරයෙන් ලියන්න. ලවය හා හරය සංයුග්මය $3 + \sqrt{2}$ න් ගුණ කරන්න: $\dfrac{(3 + \sqrt{2})^2}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \dfrac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{9 - 2} = \dfrac{11 + 6\sqrt{2}}{7} = \dfrac{11}{7} + \dfrac{6}{7}\sqrt{2}$.
උදාහරණය: $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + 2}$ සුළු කරන්න. එක් එක් පදයේ හරය පරිමේය කරන්න. හරය හා එහි සංයුග්මයේ ගුණිතය $1$ වේ: $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$, $\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$, $\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + 2} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$. එකතුව $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{3}) = 1$; මැද පද යුගල වශයෙන් කැපී යයි.
ප්‍රතිඵලය. $a, b, c, d$ පරිමේය හා $\sqrt{n}$ අපරිමේය වන විට $a + b\sqrt{n} = c + d\sqrt{n}$ නම්, $a = c$ හා $b = d$ ය.
හේතුව. $(b - d)\sqrt{n} = c - a$ ලෙස සකසන්න. $b \neq d$ නම් $\sqrt{n} = \dfrac{c - a}{b - d}$ පරිමේය වේ; එය අසත්‍ය ය. එබැවින් $b = d$ ද, ඉන්පසු $a = c$ ද වේ. $\square$
උදාහරණය: $\dfrac{5 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = a + b\sqrt{3}$ වන පරිදි පරිමේය සංඛ්‍යා $a, b$ සොයන්න. හරය පරිමේය කරන්න: $\dfrac{(5 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \dfrac{10 + 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 13 + 7\sqrt{3}$. පරිමේය හා අපරිමේය කොටස් සමාන කළ විට $a = 13$, $b = 7$ ලැබේ.
$\sqrt{p + q\sqrt{n}}$ සෙවීමට $x, y > 0$ වූ $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ ගෙන බලන්න. වර්ග කළ විට $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (x + y) + 2\sqrt{xy}$. එබැවින් $x + y = p$ හා $2\sqrt{xy} = q\sqrt{n}$, එනම් $4xy = q^2 n$ විය යුතු ය.
උදාහරණය: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ සොයන්න. $4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$ ලෙස ලියන්න; එවිට $x + y = 7$ හා $xy = 12$ විය යුතු ය. $4$ හා $3$ ගැළපේ. පරීක්ෂාව: $(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$. $2 + \sqrt{3} > 0$ බැවින් $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$.
$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ වැනි අන්තරයක පිළිතුර $2 - \sqrt{3}$ ය (එය ධන ය): ප්‍රතිඵලය ඍණ නොවන සේ විශාල මූලය මුලින් ලියන්න.
Exam tip: හරයේ $a \pm \sqrt{b}$ දුටු විට ම සංයුග්මයෙන් ගුණ කර ලවය ප්‍රවේශමෙන් ප්‍රසාරණය කරන්න. එවැනි ප්‍රශ්නවල (b) කොටසින් බොහෝ විට "ඒ නිසා" අගය කිරීමට හෝ $a$ හා $b$ සෙවීමට ඉල්ලයි: පරිමේය හා අපරිමේය කොටස් සමාන කිරීමෙන් අවසන් කරන්න.