පරිමේය $n$ සඳහා $\lim_{x\to a} \dfrac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1}$ සහ $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ යන සම්මත සීමා දෙක සාධනය කර භාවිත කිරීම.
$x \to a$ විට $x^n - a^n$ සහ $x - a$ දෙක ම $0$ ට ළං වේ; එබැවින් සෑම $n$ සඳහා ම මෙය $\dfrac{0}{0}$ ආකාරයකි. ප්‍රතිඵලය: $$\lim_{x\to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n,a^{n-1}.$$ මෙහි $n$ පරිමේය සංඛ්‍යාවකි; $n$ නිඛිලයක් නොවේ නම් $a > 0$ ද, $n$ ඍණ නිඛිලයක් නම් $a \ne 0$ ද විය යුතු ය.
$n$ ධන නිඛිලයක් වන විට සාධනය. සාධක වෙන් කරන්න: $$x^n - a^n = (x - a)\left(x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \cdots + a^{n-1}\right).$$ $x \ne a$ සඳහා භාගය එම වරහන් ප්‍රකාශනයට සමාන වේ; එහි පද $n$ ක් ඇත. $x \to a$ විට සෑම පදයක් ම $a^{n-1}$ ට ළං වන බැවින් සීමාව $n,a^{n-1}$ වේ.
$n = \dfrac{p}{q}$ සඳහා සාධනය ($p$, $q$ ධන නිඛිල). $x = u^q$ සහ $a = v^q$ ආදේශ කරන්න; එවිට $x \to a$ යනු $u \to v$ වන අතර $x^n = u^p$, $a^n = v^p$ වේ. එවිට $$\frac{x^n - a^n}{x - a} = \frac{u^p - v^p}{u^q - v^q} = \frac{\dfrac{u^p - v^p}{u - v}}{\dfrac{u^q - v^q}{u - v}} \longrightarrow \frac{p,v^{p-1}}{q,v^{q-1}} = \frac{p}{q},v^{p-q} = \frac{p}{q},a^{\frac{p}{q} - 1}.$$
ඍණ $n = -m$ සඳහා: $\dfrac{x^{-m} - a^{-m}}{x - a} = -\dfrac{x^m - a^m}{x - a} \cdot \dfrac{1}{x^m a^m} \to -m,a^{m-1} \cdot \dfrac{1}{a^{2m}} = -m,a^{-m-1}$; මෙය ද $n,a^{n-1}$ ම ය.
උදාහරණය: $\lim_{x\to 2} \dfrac{x^5 - 32}{x - 2}$ සොයන්න. $32 = 2^5$ ලෙස ලියන්න: මෙය $n = 5$, $a = 2$ සහිත සම්මත සීමාවයි; එබැවින් අගය $5 \cdot 2^4 = 80$.
උදාහරණය: $\lim_{x\to 16} \dfrac{x^{1/4} - 2}{x - 16}$ සොයන්න. මෙහි $2 = 16^{1/4}$ නිසා $n = \dfrac{1}{4}$, $a = 16$: සීමාව $\dfrac{1}{4} \cdot 16^{-3/4} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{32}$.
උදාහරණය: $\lim_{x\to 1} \dfrac{x^7 - 1}{x^3 - 1}$ සොයන්න. ලවය සහ හරය $x - 1$ න් බෙදන්න: ලවයෙන් $7 \cdot 1^6 = 7$ ද හරයෙන් $3 \cdot 1^2 = 3$ ද ලැබේ; එබැවින් සීමාව $\dfrac{7}{3}$ වේ.
ලවයේ $x^n - a^n$ ද හරයේ $x - a$ (හෝ එහි ගුණාකාරයක්) ද ඇති විට වහා සම්මත සීමාව භාවිත කරන්න. මූල සඳහා $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ආදී ලෙස ලියන්න.
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ මෙහි $x$ රේඩියනවලින් මනිනු ලැබේ.
සාධනය. $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ ගන්න. කේන්ද්‍රය $O$ ද අරය $1$ ද වූ වෘත්තයක $A = (1, 0)$ ද, $\angle AOB = x$ වන පරිදි වෘත්තය මත $B$ ලක්ෂ්‍යය ද, දික් කළ $OB$ රේඛාව $A$ හි ස්පර්ශකය හමුවන ලක්ෂ්‍යය $T$ ද ගන්න. $OAB$ ත්‍රිකෝණයේ, $OAB$ කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයේ සහ විශාල $OAT$ ත්‍රිකෝණයේ ($AT = \tan x$) වර්ගඵල සඳහා $$\tfrac{1}{2}\sin x < \tfrac{1}{2}x < \tfrac{1}{2}\tan x.$$ $\tfrac{1}{2}\sin x > 0$ න් බෙදන්න: $1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x}$; එබැවින් $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$. $x \to 0^+$ විට $\cos x \to 1$ නිසා සැන්ඩ්විච් ප්‍රමේයයෙන් $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$. $\dfrac{\sin(-x)}{-x} = \dfrac{\sin x}{x}$ බැවින් $x \to 0^-$ සඳහා ද එය සත්‍ය වේ.
මෙම සීමාව භාවිත කිරීමට, සයින් තුළ ඇති කෝණය හරයේ ඇති ප්‍රකාශනයට සමාන කරගන්න.
උදාහරණය: $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{2x}$ සොයන්න. එය $\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x}$ ලෙස ලියන්න. $x \to 0$ විට $3x \to 0$ ද $\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 1$ ද වේ; එබැවින් සීමාව $\dfrac{3}{2}$ ය.
උදාහරණය: $\lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ සොයන්න. $1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$ භාවිත කරන්න. එවිට $\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}(1)^2 = \dfrac{1}{2}$.
Exam tip: I පත්‍රයේ $\dfrac{\sin ax}{\sin bx}$, $\dfrac{1 - \cos ax}{x^2}$ සහ $\dfrac{\tan ax}{bx}$ වර්ගවල ප්‍රශ්න ඇසේ. ලවය සහ හරය $x$ න් බෙදන්න, නැතහොත් නිවැරදි නියතයෙන් ගුණ කර බෙදන්න; එවිට සෑම sin පදයකට ම අනුරූප $x$ පහළ ඇත. $1 - \cos 2x$ වහා $2\sin^2 x$ ලෙස ලියන්න. $\dfrac{x^n - a^n}{x - a}$ ප්‍රශ්නවල දී පළමුව රටාව පරීක්ෂා කරන්න: ලවය $x^n - a^n$ ආකාරයෙන් ම නොවේ නම්, නියතය $a^n$ ලෙස නැවත ලියන්න.