විශේෂිත ද්‍රව්‍ය ඇතුළත් කරන හෝ ඉවත් කරන, "අවම වශයෙන්" හෝ "පමණක්" කොන්දේසි ඇති, කණ්ඩායම් කිහිපයකින් ලැබෙන තෝරාගැනීම් ගණන් කර, තෝරාගැනීම සහ පිළියෙල කිරීම ඒකාබද්ධ කරන ආකාරය.
බොහෝ තෝරාගැනීම් ගැටලුවල ද්‍රව්‍ය කණ්ඩායම්වලට බෙදේ (පිරිමි සහ ගැහැණු, රතු සහ නිල් බෝල, ව්‍යඤ්ජන සහ ස්වර). නීතිය මෙසේ ය:
උදාහරණය: පිරිමි $6$ දෙනෙකු සහ ගැහැණු $5$ දෙනෙකු අතුරෙන් අවම වශයෙන් ගැහැණු $2$ දෙනෙකු සිටින පරිදි $4$ දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක් තෝරා ගත හැකි ක්‍රම ගණන කොපමණ ද? මුළු කණ්ඩායම් ගණන ${}^{11}C_4 = 330$. කොන්දේසිය කඩන කණ්ඩායම් වන්නේ ගැහැණු $0$ ක් ඇති ${}^6C_4 = 15$ ක් සහ ගැහැණු එක් අයෙකු පමණක් ඇති ${}^5C_1 \times {}^6C_3 = 5 \times 20 = 100$ ක් ය. අඩු කළ විට $330 - 15 - 100 = 215$. අවස්ථාවලින් පරීක්ෂා කිරීම: ගැහැණු $2$: ${}^5C_2,{}^6C_2 = 150$; ගැහැණු $3$: ${}^5C_3,{}^6C_1 = 60$; ගැහැණු $4$: ${}^5C_4 = 5$; $150 + 60 + 5 = 215$.
$n$ කින් ද්‍රව්‍ය $r$ ක් තෝරන විට:
උදාහරණය: ක්‍රීඩකයන් $9$ දෙනකුගෙන් $5$ දෙනකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක් තෝරයි. $A$ ක්‍රීඩකයා ඇතුළත් විය යුතු අතර $B$ ක්‍රීඩකයා ඇතුළත් නොවිය යුතු නම්, මෙය කොපමණ ක්‍රම ගණනකින් කළ හැකි ද? $A$ ඇතුළත් කර $B$ ඉවත් කරන්න: ඉතිරි $4$ දෙනා ඉතිරි $9 - 2 = 7$ ක්‍රීඩකයන් අතුරෙන් තෝරන්න. එබැවින් ${}^7C_4 = 35$.
එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍ය $n$ න් සෑම එකකට ම හැකියාවන් දෙකකි: ගැනීම හෝ නොගැනීම. එබැවින් කිසිවක් නොගැනීම ද ඇතුළුව, ද්‍රව්‍ය ඕනෑම ගණනක් ගැනීමේ ක්‍රම ගණන $2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n$ වේ. අවම වශයෙන් එකක් ගන්නා විට: $2^n - 1$.
උදාහරණය: සාප්පුකරුවෙකු සතුව විවිධ පොත් $6$ ක් ඇති අතර ගනුදෙනුකරුවෙකු අවම වශයෙන් එකක් මිලදී ගනී. හැකි මිලදී ගැනීම් ගණන $2^6 - 1 = 63$.
බොහෝ ප්‍රශ්නවල මුලින් ද්‍රව්‍ය තෝරා, ඉන්පසු ඒවා පිළිවෙළට තබනු ලැබේ: ${}^nC_r$ මගින් තෝරා $r!$ මගින් පිළියෙල කරන්න (ගුණිතය ${}^nP_r$ වේ). ද්‍රව්‍ය කණ්ඩායම් කිහිපයකින් ලැබෙන විට, සෑම කණ්ඩායමකින් ම තෝරා, ගුණ කර, ඉන්පසු පිළියෙල කිරීම් ගණනින් ගුණ කරන්න.
උදාහරණය: පිරිමි $5$ දෙනකුගෙන් $3$ දෙනෙකු සහ ගැහැණු $4$ දෙනකුගෙන් $2$ දෙනෙකු තෝරා, තෝරාගත් පස්දෙනා පේළියක පිළියෙල කරයි. ක්‍රම ගණන ${}^5C_3 \times {}^4C_2 \times 5! = 10 \times 6 \times 120 = 7200$.
උදාහරණය: පියෙකුට සමීප ගැහැණු ඥාතීන් $4$ දෙනෙකු සහ සමීප පිරිමි ඥාතීන් $3$ දෙනෙකු සිටී. මවකට සමීප ගැහැණු ඥාතීන් $2$ දෙනෙකු සහ සමීප පිරිමි ඥාතීන් $5$ දෙනෙකු සිටී. අමුත්තන් හය දෙනා ගැහැණු $3$ ක් සහ පිරිමි $3$ ක් වන පරිදි, මව්පියන් දෙදෙනා ම තමන්ගේ සමීප ඥාතීන් $3$ දෙනා බැගින් ආරාධනා කරයි. ක්‍රම ගණන සොයන්න. පියා ගැහැණු $k$ දෙනෙකුට (සහ පිරිමි $3 - k$ දෙනෙකුට) ආරාධනා කරන්නේ යැයි ගනිමු. එවිට මවට ගැහැණු $3 - k$ දෙනෙකු සහ පිරිමි $k$ දෙනෙකු අවශ්‍ය වේ: ${}^4C_k,{}^3C_{3-k},{}^2C_{3-k},{}^5C_k$. $k = 0$ සඳහා: $0$ (මවට ඇත්තේ ගැහැණු $2$ දෙනෙකු පමණි, ඇයට $3$ දෙනෙකු අවශ්‍ය ය). $k = 1$ සඳහා: $4 \times 3 \times 1 \times 5 = 60$. $k = 2$ සඳහා: $6 \times 3 \times 2 \times 10 = 360$. $k = 3$ සඳහා: $4 \times 1 \times 1 \times 10 = 40$. මුළු ගණන $60 + 360 + 40 = 460$.
Exam tip: I පත්‍රයේ B කොටසේ තෝරාගැනීම් ප්‍රශ්න සාමාන්‍යයෙන් උප කොටස් දෙකකට හෝ තුනකට බෙදා ඇත (උදාහරණයක් ලෙස, සරල කොටසකින් පසු "ගැහැණු $3$ සහ පිරිමි $3$"). අවස්ථා පැහැදිලිව ලියා, සෑම ගුණිතයක් ම පෙන්වා, අවසානයේ එකතු කරන්න. අවස්ථා අතිච්ඡාදනය නොවන බව සහ ඒවා සියල්ල ආවරණය කරන බව පරීක්ෂා කරන්න. අවසන් අගය මුළු තෝරාගැනීම් ගණන සමඟ සසඳන්න: එය කිසිවිටෙක හැකි සියලු තෝරාගැනීම් ගණනට වඩා වැඩි විය නොහැකි ය.