ඒකකය 3 · වර්ගජ ශ්‍රිත සහ වර්ගජ සමීකරණ
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$ සහ $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ භාවිතයෙන් මූල අඩංගු ප්‍රකාශන අගය කිරීම සහ පරිවර්තිත මූල ඇති නව සමීකරණ සැදීම.
$\alpha$ සහ $\beta$ යනු $ax^2 + bx + c = 0$ හි මූල යැයි ගනිමු. එවිට $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = a\left[x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta\right]$. ($a$ න් බෙදා) සංගුණක සැසඳීමෙන්: $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$ සූත්‍රයෙන් ද මෙය දැකිය හැකි ය: මූල දෙක $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ වන අතර ඒවායේ එකතුව $-\dfrac{b}{a}$ වේ. මූල තාත්ත්වික නොවූ විට ද, $\alpha = \beta$ විට ද මෙම සම්බන්ධතා සත්‍ය වේ.
මූල දී ඇති සමීකරණය: මූල $\alpha, \beta$ වන සමීකරණය $$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \quad (\text{හෝ එහි ශුන්‍ය නොවන ඕනෑ ම ගුණාකාරයක්}).$$
$\alpha$ සහ $\beta$ හුවමාරු කළ විට වෙනස් නොවන ප්‍රකාශනයක් සමමිතික වේ. එවැනි ඕනෑ ම ප්‍රකාශනයක් $S = \alpha + \beta$ සහ $P = \alpha\beta$ ඇසුරෙන් ලිවිය හැකි ය:
උදාහරණය: $\alpha, \beta$ යනු $2x^2 - 6x + 1 = 0$ හි මූල ය. $\alpha^2 + \beta^2$ සහ $\alpha^3 + \beta^3$ සොයන්න. මෙහි $S = 3$ සහ $P = \dfrac{1}{2}$. එවිට $\alpha^2 + \beta^2 = 9 - 2\left(\tfrac{1}{2}\right) = 8$ සහ $\alpha^3 + \beta^3 = 27 - 3\left(\tfrac{1}{2}\right)(3) = 27 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{45}{2}$.
ක්‍රමය: (1) පැරණි මූලවල $S$ සහ $P$ සොයන්න; (2) නව මූලවල නව එකතුව $S'$ සහ නව ගුණිතය $P'$ සොයන්න; (3) $x^2 - S'x + P' = 0$ ලියන්න.
උදාහරණය: පෙර උදාහරණයේ $\alpha, \beta$ සඳහා, මූල $\dfrac{\alpha}{\beta}$ සහ $\dfrac{\beta}{\alpha}$ වන සමීකරණය සාදන්න. නව එකතුව $= \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \dfrac{8}{1/2} = 16$. නව ගුණිතය $= \dfrac{\alpha}{\beta}\cdot\dfrac{\beta}{\alpha} = 1$. සමීකරණය $x^2 - 16x + 1 = 0$ වේ.
ඉක්මන් පරිවර්තන ($ax^2+bx+c=0$ හි මූල $\alpha,\beta$ නම්): මූල $\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}$ වන සමීකරණය $cx^2 + bx + a = 0$ වේ (සංගුණක ප්‍රතිවිරුද්ධ පිළිවෙලට ලියන්න); මූල $k\alpha, k\beta$ වන සමීකරණය ලබාගන්නේ $x$ වෙනුවට $\dfrac{x}{k}$ ආදේශ කිරීමෙනි.
මූල අතර අවශ්‍යතාවක් ඇත්නම්, නොදන්නා රාශි සෙවීමට එය එකතුව සහ ගුණිතය සමඟ යොදන්න.
උදාහරණය: $x^2 - px + 8 = 0$ හි මූල අතර වෙනස $2$ ය. $p$ සොයන්න. මූල $\alpha, \beta$ යැයි ගනිමු: $\alpha + \beta = p$, $\alpha\beta = 8$ සහ $(\alpha - \beta)^2 = 4$. එවිට $p^2 - 32 = 4$, එබැවින් $p^2 = 36$ සහ $p = \pm 6$. $p = 6$ පරීක්ෂා කරන්න: $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$, මූල $2, 4$ හි වෙනස $2$ ය.
$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ ගුණිතයෙන්: එය ඍණ නම් මූලවල ලකුණු ප්‍රතිවිරුද්ධ ය (සහ $\Delta > 0$ ස්වයංක්‍රීයව සත්‍ය වේ). එය ධන නම් මූල දෙකට එක ම ලකුණ ඇත; එකතුව ධන නම් දෙක ම ධන, එකතුව ඍණ නම් දෙක ම ඍණ ය; මූල තාත්ත්වික වීමට $\Delta \ge 0$ ද පරීක්ෂා කරන්න.
Exam tip: සාමාන්‍ය කොටස් වන්නේ "(i) $\alpha + \beta$ සහ $\alpha\beta$ ලියන්න; (ii) $\alpha^2 + \beta^2$ සොයන්න; (iii) මූල $\ldots$ වන සමීකරණය සාදන්න" යනුයි. (i) මුලින් ලියා නිරවද්‍ය භාග ඒ ලෙස ම ගෙන යන්න. නව සමීකරණය සාදන විට "නව මූලවල එකතුව = ..." සහ "නව මූලවල ගුණිතය = ..." ලෙස වෙන වෙන ම පේළි දෙකක් ලියන්න; ලකුණු ලැබෙන්නේ ඒ පේළි සඳහා ය. අවසන් සමීකරණය නිඛිල සංගුණක සහිතව ලියන්න (හරයෙන් ගුණ කරන්න).