සම්බන්ධතා හා ශ්‍රිත: වසම, සහවසම හා පරාසය
ශ්‍රිතයක් යනු කුමක්ද, එහි වසම, සහවසම හා පරාසය කියවන හැටි සහ දී ඇති නීතියක ස්වාභාවික වසම හා පරාසය සොයන හැටි.
සම්බන්ධතා (Relations)
$A$ කුලකයේ සිට $B$ කුලකයට සම්බන්ධතාවක් යනු $a \in A$ හා $b \in B$ වන ක්‍රමයෝපිත යුගල $(a, b)$ ඕනෑම කුලකයකි. උදා: ${1, 2, 3}$ සිට ${2, 3}$ දක්වා "ට වඩා කුඩා ය" යන සම්බන්ධතාව ${(1,2), (1,3), (2,3)}$ ය. මෙහි $1$ අවයව දෙකකට සම්බන්ධ වන බැවින් මෙය ශ්‍රිතයක් නොවේ.
ශ්‍රිත (Functions)
$f: A \to B$ ශ්‍රිතයක් යනු $A$ හි සෑම $x$ අවයවයකට $B$ හි එක් $f(x)$ අවයවයක් පමණක් ලබා දෙන නීතියකි. කොන්දේසි දෙකක් වැදගත් ය: $x \in A$ සෑම එකකටම ප්‍රතිබිම්බයක් තිබිය යුතු ය, තවද එය එකක් පමණක් විය යුතු ය.
- $A$ කුලකය වසම වේ.
- $B$ කුලකය සහවසම වේ.
- පරාසය යනු සැබවින් ම ලැබෙන $f(x)$ අගයන් කුලකයයි. එය සෑම විට සහවසමේ උපකුලකයකි; සහවසමට වඩා කුඩා විය හැකි ය.
රූපයේ $f(x) = x^2$ වන අතර වසම $A = {-1, 1, 2}$, සහවසම $B = {1, 2, 4, 5}$ වේ. $-1$ හා $1$ දෙක ම $1$ ට යයි; ආදාන දෙකකට එක ම ප්‍රතිදානයක් තිබීමට ඉඩ ඇත. පරාසය ${1, 4}$ වන අතර $2$ හා $5$ සහවසමේ ඇතත් කිසි විටෙකත් නොලැබේ.
Careful: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ වැනි නීතියක් පමණක් දී ඇති විට ස්වාභාවික වසම ගන්න: නීතියට තේරුමක් ඇති විශාලතම තාත්ත්වික සංඛ්‍යා කුලකය. මෙහි එය $x \ne 0$ වේ.
සිරස් රේඛා පරීක්ෂාව (Vertical line test)
තලයේ වක්‍රයක් $x$ හි ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරය වන්නේ සෑම $x = c$ සිරස් රේඛාවක් ම එය උපරිම වශයෙන් එක් වරක් කැපෙන විට පමණි ($c$ වසමට අයත් නම් එක් වරක්, නැතිනම් කිසි විටෙක නැත). $x^2 + y^2 = 1$ වෘත්තය මෙම පරීක්ෂාවෙන් අසමත් වේ; $x = 0$ රේඛාව එය $(0, 1)$ හා $(0, -1)$ හි කැපේ.
ස්වාභාවික වසම සෙවීම
තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් $x$ සඳහා නීතියක් ක්‍රියා නොකරන අවස්ථා තුනකි:
- හරය බින්දුව වීම: $\dfrac{1}{g(x)}$ සඳහා $g(x) \ne 0$ විය යුතු ය.
- වර්ගමූලය (හෝ ඕනෑම ඉරට්ටේ මූලයක්) යටතේ ඍණ සංඛ්‍යාවක් වීම: $\sqrt{g(x)}$ සඳහා $g(x) \ge 0$ විය යුතු ය.
- දෙක ම එකවර: $\dfrac{1}{\sqrt{g(x)}}$ සඳහා $g(x) > 0$ විය යුතු ය.
පිළිතුර ප්‍රාන්තරයක් හෝ ප්‍රාන්තරවල මේලයක් ලෙස ලියන්න. $[a, b]$ සංවෘත ප්‍රාන්තරයයි (කෙළවර ඇතුළත්), $(a, b)$ විවෘත ප්‍රාන්තරයයි (කෙළවර ඇතුළත් නොවේ), $\cup$ මගින් කොටස් යා කරයි. $\mathbb{R}$ යනු තාත්ත්වික සංඛ්‍යා කුලකයයි.
Example: $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 5}$ හි ස්වාභාවික වසම සොයන්න.
වර්ගමූලය සඳහා $x - 2 \ge 0$, එනම් $x \ge 2$. හරය සඳහා $x \ne 5$. $[2, \infty)$ න් $5$ ඉවත් කරන්න:
පිළිතුර: $[2, 5) \cup (5, \infty)$.
පරාසය සෙවීම
ක්‍රමය 1: වර්ගජ ශ්‍රිත සඳහා වර්ගය සම්පූර්ණ කිරීම. ක්‍රමය 2: $x$ සඳහා විසඳීම. $y = f(x)$ ලියා $x$ ව $y$ ඇසුරෙන් විසඳා, වසමට අයත් තාත්ත්වික $x$ ලැබෙන $y$ අගයන් පමණක් තබා ගන්න.
Example: $f(x) = x^2 - 4x + 7$ හි පරාසය (a) $\mathbb{R}$ මත, (b) $[0, 3]$ වසම මත සොයන්න.
වර්ගය සම්පූර්ණ කරන්න: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. ශීර්ෂය $(2, 3)$ වන අතර පරාවලය ඉහළට විවෘත වේ.
(a) සියලු තාත්ත්වික $x$ සඳහා $(x-2)^2 \ge 0$ වන අතර එය $0$ සිට ඉහළට සියලු අගයන් ගනී. එබැවින් $f(x) \ge 3$. පරාසය $= [3, \infty)$.
(b) $x = 2$ යනු $[0, 3]$ හි ඇත, එබැවින් අවමය $f(2) = 3$ ලැබේ. කෙළවරවල $f(0) = 7$ හා $f(3) = 4$. විශාල කෙළවර අගය $7$ වේ. ප්‍රස්තාරය සන්තතික බැවින් $3$ සිට $7$ දක්වා සියලු අගයන් ලැබේ.
පිළිතුර: (a) $[3, \infty)$; (b) $[3, 7]$.
Exam tip: "$f(x) = \dots,\ 0 \le x \le 3$" වැනි සීමිත වසමක් ඇති විට ශීර්ෂය පමණක් නොව දෙපැත්තේ කෙළවර ලක්ෂ්‍ය දෙක ද පරීක්ෂා කරන්න. බොහෝ ශිෂ්‍යයෝ ශීර්ෂය පමණක් සොයා පරාසයේ ලකුණු අහිමි කරගනිති. ප්‍රාන්තරය නිවැරදි වරහන් සහිතව ලියන්න.