පසුව එන සියලු ඒකක රඳා පවතින වීජීය නීති, අනුපිළිවෙල නීති, ඝනත්වය, නිරපේක්ෂ අගය හා දර්ශක නීති; මූලික අසමානතා සාධන සමඟ.
වීජ ගණිතයේ සෑම සර්වසමතාවක් ම කෙටි නීති ලැයිස්තුවකින් ලැබේ. සියලු තාත්ත්වික $a, b, c$ සඳහා:
| නීතිය | එකතුව | ගුණිතය |
|---|---|---|
| සංවෘතතාව | $a + b \in \mathbb{R}$ | $ab \in \mathbb{R}$ |
| ක්‍රම-විනිමය (commutative) | $a + b = b + a$ | $ab = ba$ |
| ඒකාබද්ධ (associative) | $(a + b) + c = a + (b + c)$ | $(ab)c = a(bc)$ |
| සර්වසම අවයවය | $a + 0 = a$ | $a \cdot 1 = a$ |
| ප්‍රතිලෝමය | $a + (-a) = 0$ | $a \neq 0$ සඳහා $a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$ |
| ව්‍යාප්ත (distributive) | $a(b + c) = ab + ac$ |
අඩු කිරීම හා බෙදීම වෙන ම ක්‍රියා නොවේ: $a - b = a + (-b)$ හා $a \div b = a \cdot \dfrac{1}{b}$. එබැවින් ඒවාට ක්‍රම-විනිමය හා ඒකාබද්ධ නීති නැත: $8 - 3 \neq 3 - 8$ ද, $8 - (5 - 2) = 5$ නමුත් $(8 - 5) - 2 = 1$ ද වේ.
ශූන්‍ය ගුණිත නීතිය. $ab = 0$ නම් $a = 0$ හෝ $b = 0$ ය. $(x - 2)(x + 3) = 0$ විසඳීමේ දී එක් එක් වරහන ශූන්‍ය කර ගන්නේ මේ නිසා ය.
තාත්ත්වික $a, b$ සඳහා $a < b$, $a = b$, $a > b$ අතරින් හරියටම එකක් සත්‍ය වේ. අනුපිළිවෙල මේවාට අනුගත වේ:
මෙයින් ලැබෙන්නේ: සෑම තාත්ත්වික $x$ සඳහා ම $x^2 \geq 0$ වන අතර $x^2 = 0$ වන්නේ $x = 0$ විට පමණි. බොහෝ අසමානතා සාධනය වන්නේ මේ එක කරුණෙනි.
වර්ග හා ප්‍රතිලෝම. වර්ග කිරීමෙන් අනුපිළිවෙල සෑම විට ම රැකෙන්නේ නැත: $-3 < 2$ නමුත් $(-3)^2 = 9 > 4 = 2^2$. නමුත් $0 < a < b$ නම් $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) > 0$; එබැවින් $a^2 < b^2$. එලෙස ම $0 < a < b$ සඳහා $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab} > 0$; එබැවින් $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.
උදාහරණය: සියලු තාත්ත්වික $a, b$ සඳහා $a^2 + b^2 \geq 2ab$ බව සාධනය කර, $a, b \geq 0$ සඳහා $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ බව අපෝහනය කරන්න. $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0$; එබැවින් $a^2 + b^2 \geq 2ab$; සමානතාව $a = b$ විට පමණි. $a, b \geq 0$ සඳහා $x = \sqrt{a}$, $y = \sqrt{b}$ ගෙන $a = x^2$, $b = y^2$ ලියන්න. එවිට $x^2 + y^2 \geq 2xy$ යන්නෙන් $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ලැබේ, එනම් $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$. සංඛ්‍යා දෙකක් සඳහා සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය $\geq$ ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය (AM $\geq$ GM) අසමානතාව මෙය යි.
$a < b$ වූ ඕනෑ ම තාත්ත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් අතර පරිමේය සංඛ්‍යාවක් ද අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් ද ඇත; එබැවින් දෙවර්ගයෙන් ම අනන්ත ගණනක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය $\dfrac{a + b}{2}$ ඒ අතර ය. $a$ හා $b$ දෙක ම පරිමේය නම් මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය $\dfrac{a + b}{2}$ පරිමේය වන අතර $a + \dfrac{b - a}{\sqrt{2}}$ අපරිමේය වේ; ඒ දෙක ම $a$ හා $b$ අතර ය. තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවලට "ඊළඟ" සංඛ්‍යාවක් නැත: $0$ ට වැඩි කුඩා ම තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් නැත.
$x$ හි නිරපේක්ෂ අගය (මාපාංකය): $$\lvert x \rvert = \begin{cases} x & x \geq 0 \ -x & x < 0. \end{cases}$$ එය සංඛ්‍යා රේඛාවේ $x$ සිට $0$ දක්වා දුර ය; එබැවින් $\lvert x \rvert \geq 0$ වන අතර $\lvert a - b \rvert$ යනු $a$ හා $b$ අතර දුර ය. ප්‍රධාන කරුණු:
$a > 0$ හා ඕනෑ ම පරිමේය $m, n$ සඳහා (හරයක් ලෙස යෙදෙන තැන $n \neq 0$): $$a^m a^n = a^{m+n}, \quad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}, \quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a^0 = 1,$$ සහ $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$; එබැවින් $a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$.
උදාහරණය: $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$ අගය කරන්න. ඍණ දර්ශකයක් යනු ප්‍රතිලෝමය යි: $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3} = \left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}$. පහසු වන පරිදි මුලින් ඝනමූලය ගන්න: $\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \dfrac{2}{3}$. ඉන්පසු වර්ග කරන්න: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$.
Exam tip: I පත්‍රයේ අසමානතාවක් සාධනය කිරීමට "වම් පස $-$ දකුණු පස" ලියා $(a - b)^2$ වැනි වර්ගයක් පෙනෙන තුරු සුළු කර, එය $\geq 0$ බව කියන්න. ලකුණ පරීක්ෂා නොකළ ප්‍රකාශනයකින් අසමානතාවක් කිසි විටෙක ගුණ කිරීමක් හෝ බෙදීමක් නොකරන්න; ප්‍රශ්නය ඉල්ලන්නේ නම් සමානතාව සිදුවන තැන ද සඳහන් කරන්න.