ප්‍රක්ෂිප්ත චලිතය
ප්‍රක්ෂිප්තයක තිරස් සහ සිරස් චලිත වෙන වෙන ම සලකා, ප්‍රවේගය, පිහිටුම, උපරිම උස, පියාසර කාලය, තිරස් පරාසය සහ ගමන් මාර්ගයේ සමීකරණය සොයන ආකාරය.
ප්‍රක්ෂිප්තය යනු කුමක් ද?
ප්‍රක්ෂිප්තය යනු විසි කරනු (ප්‍රක්ෂේපණය කරනු) ලබා, පසුව ගුරුත්වයේ ක්‍රියාව පමණක් යටතේ චලනය වන අංශුවකි. වාත ප්‍රතිරෝධය නොසලකන විට ගුවනේ ඇති ක්‍රිකට් බෝලයක්, ජල ධාරාවක්, පාලමකින් විසි කළ ගලක් යන සියල්ල ප්‍රක්ෂිප්ත ය. ඒවායේ ගමන් මාර්ගය පථය ලෙස හැඳින්වේ.
ප්‍රධාන අදහස (ගැලීලියෝ): තිරස් සහ සිරස් චලිත ස්වායත්ත ය. ඇති එකම බලය පහළට ක්‍රියා කරන බර වන බැවින් $$\ddot{x} = 0, \qquad \ddot{y} = -g.$$ තිරස් චලිතය නියත ප්‍රවේගයෙනි; සිරස් චලිතය $-g$ නියත ත්වරණයක් සහිත සරල රේඛා චලිතයකි. මෙය 3 වන පාඩමේ $\mathbf{r} = \mathbf{u}t + \tfrac12\mathbf{a}t^2$ දෛශික සමීකරණයේ $\mathbf{a} = -g\mathbf{j}$ වන අවස්ථාව ම ය.
චලිතයේ සංරචක
මූල ලක්ෂ්‍යය $O$ සිට ආරම්භක වේගය (ප්‍රක්ෂේපණ වේගය) $u$ ද තිරසට ඉහළින් ප්‍රක්ෂේපණ කෝණය $\alpha$ ද සහිතව ප්‍රක්ෂේපණය කරයි. ආරම්භක ප්‍රවේග සංරචක $u\cos\alpha$ (තිරස්) සහ $u\sin\alpha$ (සිරස්, ඉහළට) වේ. $t$ කාලයේ දී:
$$\dot{x} = u\cos\alpha,\qquad \dot{y} = u\sin\alpha - gt,$$ $$x = (u\cos\alpha),t,\qquad y = (u\sin\alpha),t - \tfrac12 g t^2.$$
වේගය $v = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}$ වන අතර, චලිත දිශාව තිරස සමඟ සාදන කෝණය $\theta$ සඳහා $\tan\theta = \dot{y}/\dot{x}$ වේ ($\dot{y} > 0$ නම් තිරසට ඉහළින්, $\dot{y} < 0$ නම් පහළින්).
උපරිම උස, පියාසර කාලය සහ පරාසය
- උපරිම උස. මුදුනේ දී $\dot{y} = 0$; එබැවින් $t_1 = \dfrac{u\sin\alpha}{g}$, සහ $$H = \frac{u^2\sin^2\alpha}{2g}.$$
- පියාසර කාලය (ප්‍රක්ෂිප්තය ප්‍රක්ෂේපණ මට්ටමට, එනම් $y = 0$ ට, නැවත පැමිණීමට): $t(u\sin\alpha - \tfrac12 g t) = 0$; එබැවින් $$T = \frac{2u\sin\alpha}{g} = 2t_1.$$
- තිරස් පරාසය $R = (u\cos\alpha),T$: $$R = \frac{2u^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{u^2\sin 2\alpha}{g}.$$
$\sin 2\alpha \le 1$ බැවින් දී ඇති $u$ සඳහා උපරිම පරාසය $\dfrac{u^2}{g}$ වන අතර එය $\alpha = 45^\circ$ දී ලැබේ. $\sin 2\alpha = \sin(180^\circ - 2\alpha)$ නිසා $\alpha$ සහ $90^\circ - \alpha$ යන කෝණ දෙකට සමාන පරාසය ලැබේ (නමුත් උස සහ කාල වෙනස් ය).
උදාහරණය: පොළොව මට්ටමේ සිට බෝලයක් $50\text{ m s}^{-1}$ වේගයෙන්, $\tan\alpha = \dfrac{4}{3}$ වන $\alpha$ කෝණයකින් ප්‍රක්ෂේපණය කරයි ($g = 10$). පියාසර කාලය, උපරිම උස සහ පරාසය සොයන්න. $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$, $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$; එබැවින් ආරම්භක සංරචක $30$ (තිරස්) සහ $40\text{ m s}^{-1}$ (සිරස්) වේ. $T = \dfrac{2\times 40}{10} = 8\text{ s}$. $H = \dfrac{40^2}{20} = 80\text{ m}$. $R = 30\times 8 = 240\text{ m}$. (පරීක්ෂාව: $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g} = \dfrac{2500\times 24/25}{10} = 240$.)
පථයේ සමීකරණය
$t$ ඉවත් කරන්න: $x = u\cos\alpha,t$ න් $t = \dfrac{x}{u\cos\alpha}$ ලැබේ; $y$ හි ආදේශ කිරීමෙන් $$y = x\tan\alpha - \frac{g x^2}{2u^2\cos^2\alpha}.$$ එසේ ම $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$ භාවිතයෙන් $y = x\tan\alpha - \dfrac{g x^2}{2u^2}(1 + \tan^2\alpha)$ වේ. මෙය පහළට විවෘත වන පරාවලයකි; එහි උච්චතම ලක්ෂ්‍යය පරාසයේ මැද දී ලැබේ. ප්‍රක්ෂිප්තය ගමන් කරන $(x, y)$ ලක්ෂ්‍යයක් දී, කෝණය ($\tan\alpha$ හි වර්ගජයක්) හෝ වේගය අසන විට මෙය භාවිත කරන්න.
උදාහරණය: අංශුවක් පොළොවේ සිට $25\text{ m s}^{-1}$ වේගයෙන්, $\tan\alpha = \dfrac{3}{4}$ වන කෝණයකින් ප්‍රක්ෂේපණය කරයි. $30\text{ m}$ දුරින්, උස $8\text{ m}$ වූ තාප්පයක් ඇත. එය තාප්පය ඉක්මවා යයි ද? ($g = 10$.) මෙහි $\cos\alpha = 0.8$; එබැවින් $u^2\cos^2\alpha = 625\times 0.64 = 400$. $x = 30$ දී: $y = 30\times\dfrac{3}{4} - \dfrac{10\times 900}{2\times 400} = 22.5 - 11.25 = 11.25\text{ m}$. $11.25 > 8$ බැවින් අංශුව තාප්පය පසු කරන විට එහි මුදුනට $3.25\text{ m}$ ඉහළින් ඇත; එබැවින් එය තාප්පය ඉක්මවා යයි. ($x = 30$ යනු පරාසය $R = \dfrac{625\times 0.96}{10} = 60\text{ m}$ ඇතුළත පිහිටන බව පරීක්ෂා කරන්න; එය එසේ ම ය.)
උසකින් ප්‍රක්ෂේපණය සහ තිරස් ප්‍රක්ෂේපණය
අංශුව පොළොවට $h$ උසකින් ප්‍රක්ෂේපණය කරයි නම් පොළොවට පතිත වන ලක්ෂ්‍යයේ $y = -h$ ලෙස ගන්න. $-h = u\sin\alpha,t - \tfrac12 g t^2$ වර්ගජයෙන් පියාසර කාලය ලැබේ (ධන මූලය ගන්න). තිරස් ප්‍රක්ෂේපණයේ දී $\alpha = 0$: $x = ut$, $y = -\tfrac12 gt^2$; $h$ උසක් වැටීමට ගත වන කාලය $\sqrt{2h/g}$ වන අතර එය $u$ ගෙන් ස්වායත්ත ය.
උදාහරණය: උස $45\text{ m}$ වූ ප්‍රපාතයක මුදුනේ සිට ගලක් තිරස් ව $20\text{ m s}^{-1}$ වේගයෙන් විසි කරයි ($g = 10$). පියාසර කාලය, ප්‍රපාතයේ පාමුලේ සිට තිරස් දුර සහ ගල පොළොවට පතිත වන විට වේගය සහ දිශාව සොයන්න. $45 = 5t^2$ න් $t = 3\text{ s}$. තිරස් දුර $= 20\times 3 = 60\text{ m}$. පොළොවට පතිත වන විට $\dot{x} = 20$ සහ $\dot{y} = -gt = -30$; එබැවින් වේගය $\sqrt{400 + 900} = 10\sqrt{13} \approx 36.1\text{ m s}^{-1}$ වන අතර, දිශාව තිරසට පහළින් $\tan^{-1}\dfrac{30}{20} \approx 56.3^\circ$ කි.
Exam tip: සෑම ප්‍රක්ෂිප්ත ප්‍රශ්නයක් ම ආරම්භ කරන්නේ $\mathbf{u}$ හි සංරචක දෙක සහ ලකුණු සහිත සමීකරණ දෙක ($x$ සහ $y$) ලිවීමෙනි. පරාස සූත්‍රය පමණක් කටපාඩම් නොකරන්න: ප්‍රශ්නය බොහෝ විට $H$, $T$, $R$ සූත්‍රවලින් සෘජුව නොලැබෙන රාශියක් (දී ඇති උසකට ගත වන කාලය, දී ඇති උසක දී වේගය, ඉලක්කයක් වදින කෝණය) අසයි. $y$ උසක දී වේගය සඳහා සංරචක සොයනවාට වඩා $v^2 = u^2 - 2gy$ වේගවත් ය. විෂය නිර්දේශයට තිරස් තලයක ප්‍රක්ෂේපණය (සහ වෙනස් මට්ටමක ලක්ෂ්‍යයකින් හෝ ලක්ෂ්‍යයකට) අයත් වේ; ආනත තලයක් මෙහි අවශ්‍ය නැත. "ප්‍රක්ෂේපණ කෝණ දෙකක් ඇති බව පෙන්වන්න" යනුවෙන් ඇසුවහොත් $\tan\alpha$ හි වර්ගජයට තාත්ත්වික මූල දෙකක් තිබිය යුතු ය; වේගය පිළිබඳ අවශ්‍යතාව විවේචකයෙන් ලැබේ.