${}^nP_r$ සහ $n!$ මගින් පිළියෙල කිරීම් ගණන් කර, "එකට" සහ "එකට නොවන" වැනි කොන්දේසි සහ අක්ෂර පුනරාවර්තනය වන වචනවල පිළියෙල කිරීම් සමඟ කටයුතු කරන ආකාරය.
සංකරණයක් යනු පිළිවෙළ වැදගත් වන ද්‍රව්‍ය පිළියෙල කිරීමකි. කණ්ඩායමකින් සභාපතිවරයෙකු, ලේකම්වරයෙකු සහ භාණ්ඩාගාරිකයෙකු තෝරා ගැනීම සංකරණ ගැටලුවකි; මන්ද, "ආශා සභාපති, බිනු ලේකම්" යන්න "බිනු සභාපති, ආශා ලේකම්" යන්නට වඩා වෙනස් ය.
එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍ය $n$ කින් ස්ථාන $r$ ක් පුරවන්නේ කොපමණ ක්‍රම ගණනකින් ද? පළමු ස්ථානයට තෝරාගැනීම් $n$ ක්, දෙවැන්නට $n-1$ ක්, මෙසේ ය: $${}^nP_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}, \qquad 0 \le r \le n,\ r \in \mathbb{Z}.$$ මෙහි ${}^nP_r$ යන්න $P(n,r)$ ලෙස ද ලියනු ලැබේ. $r = n$ විට (සියල්ල පිළියෙල කිරීම), $${}^nP_n = \frac{n!}{0!} = n!.$$
උදාහරණය: $0,1,\dots,9$ ඉලක්කම් භාවිතයෙන් සියලු ඉලක්කම් වෙනස් වූ $3$-ඉලක්කම් සංඛ්‍යා කොපමණ සෑදිය හැකි ද? සියය ස්ථානයේ ඉලක්කම $0$ විය නොහැකි බැවින් එයට තෝරාගැනීම් $9$ කි. දස ස්ථානයේ ඉලක්කම ඉතිරි ඉලක්කම් $9$ න් ($0$ ද ඇතුළුව) ඕනෑම එකක් ද, ඒකක ඉලක්කම ඉතිරි $8$ න් ඕනෑම එකක් ද විය හැකි ය. එබැවින් $9 \times 9 \times 8 = 648$.
උදාහරණය: ${}^nP_2 = 56$ නම් $n$ සොයන්න. ${}^nP_2 = n(n-1) = 56$ නිසා $n^2 - n - 56 = 0$, එනම් $(n-8)(n+7) = 0$. $n > 0$ නිසා $n = 8$.
එකට. ද්‍රව්‍ය කිහිපයක් යාබදව තැබීමට ඒවා එක් කුට්ටියකට ඇලවූවා යැයි සලකන්න. කුට්ටි සහ අනෙක් ද්‍රව්‍ය පිළියෙල කර, ඉන්පසු කුට්ටිය තුළ ඇති ද්‍රව්‍ය පිළියෙල කරන්න.
උදාහරණය: COMBINE වචනයේ අක්ෂර පේළියක පිළියෙල කරන විට $O, I, E$ යන ස්වර තුන එකට පිහිටන පරිදි පිළියෙල කළ හැකි ක්‍රම ගණන කොපමණ ද? ස්වර තුන එක් කුට්ටියක් ලෙස සලකන්න. දැන් ව්‍යඤ්ජන $4$ ක් සහ කුට්ටි $1$ ක්, එනම් අයිතම $5$ ක් ඇති බැවින් පිළියෙල කිරීම් $5!$ කි. කුට්ටිය තුළ ස්වර $3!$ ක්‍රමයකින් පිළියෙල කළ හැකි ය. මුළු ගණන $5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$.
එකට නොවන. එක්කෝ අඩු කරන්න: (සියලු පිළියෙල කිරීම්) $-$ (ඒවා එකට ඇති පිළියෙල කිරීම්); නැතහොත් අනෙක් ද්‍රව්‍ය මුලින් තබා, සීමා සහිත ද්‍රව්‍ය ඒවා අතර ඇති හිඩැස්වලට දමන්න.
උදාහරණය: පුද්ගලයන් පස්දෙනෙකු පේළියක අසුන් ගනී. $A$ සහ $B$ යාබදව නොසිටින ක්‍රම ගණන කොපමණ ද? සියලු පිළියෙල කිරීම්: $5! = 120$. $A$, $B$ එකට ඇති ඒවා: $4! \times 2! = 48$. එබැවින් එකට නොවන ඒවා: $120 - 48 = 72$.
හිඩැස් ක්‍රමය. ද්‍රව්‍ය $k$ ක් එකිනෙකින් වෙන්ව තැබීමට, අනෙක් ද්‍රව්‍ය $m$ ක් මුලින් පිළියෙල කරන්න. ඒවා මගින් (දෙකෙළවර ද ඇතුළුව) හිඩැස් $m+1$ ක් සෑදේ. එක් හිඩැසකට එක බැගින් ගනිමින් ඒ හිඩැස් අතුරෙන් ද්‍රව්‍ය $k$ සඳහා ස්ථාන තෝරන ක්‍රම ගණන ${}^{m+1}P_k$ වේ.
සමහර ද්‍රව්‍ය එකිනෙකට වෙනස් නොවූ නම්, ඒවා හුවමාරු කිරීමෙන් එම පිළියෙල කිරීම ම ලැබෙන බැවින් $n!$ ගණනයේ දී සෑම පිළියෙල කිරීමක් ම වැඩියෙන් ගණන් වේ. ද්‍රව්‍ය $n$ න් $p$ ක් එකිනෙකට වෙනස් නොවූ යැයි සිතන්න. සෑම පිළියෙල කිරීමක් ම $p!$ වතාවක් (එකිනෙකට වෙනස් නොවූ ඒවා තමන් අතර හුවමාරු කළ හැකි සෑම ක්‍රමයකට එක බැගින්) ගණන් වී ඇත; එබැවින් $n$ ම පිළියෙල කිරීමේ වෙනස් ක්‍රම ගණන $\dfrac{n!}{p!}$ වේ. එකිනෙකට වෙනස් නොවූ ද්‍රව්‍ය $p$, $q$, $r$ බැගින් වූ කාණ්ඩ ඇති විට $$\frac{n!}{p!,q!,r!}.$$
උදාහරණය: MATHEMATICS වචනයේ අක්ෂර පිළියෙල කළ හැකි වෙනස් ආකාර ගණන කොපමණ ද? අක්ෂර $11$ ක් ඇත; $M$, $A$, $T$ එක එකක් දෙවරක් ද $H, E, I, C, S$ එක් වරක් ද ඇත. ගණන $\dfrac{11!}{2!,2!,2!} = \dfrac{39916800}{8} = 4989600$.
උදාහරණය: LEVEL වචනයේ අක්ෂර $L$ න් ආරම්භ වන පරිදි පිළියෙල කළ හැකි ආකාර කොපමණ ද? $L$ මුලින් තබන්න. ඉතිරි අක්ෂර $E, V, E, L$ හි $E$ දෙවරක් ඇති බැවින් පිළියෙල කිරීම් $\dfrac{4!}{2!} = 12$ කි.
Exam tip: ගණනය කිරීමට පෙර ගණනයේ වර්ගය ලියන්න: "සියල්ල වෙනස්, $n!$", "වරකට $r$ බැගින්, ${}^nP_r$", "එකිනෙකට වෙනස් නොවූ ද්‍රව්‍ය, $p!$ න් බෙදන්න". "එකට නොවන" සඳහා විභාග පරීක්ෂකවරුන් අපේක්ෂා කරන්නේ අඩු කිරීමේ ක්‍රමය හෝ කෙටි හේතු දැක්වීමක් සහිත හිඩැස් ක්‍රමය මිස හුදු අංකයක් නොවේ. වචන සඳහා මුලින් අක්ෂර ගණන් කර, පුනරාවර්තනය වන ඒවා ලැයිස්තුගත කරන්න.