එකකට එක, මත හා ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිත
ශ්‍රිතයක් එකකට එක ද මත ද යන්න තිරස් රේඛා පරීක්ෂාවෙන් හා වීජ ගණිතයෙන් පරීක්ෂා කරන හැටි සහ වසම හෝ සහවසම සීමා කිරීමෙන් ශ්‍රිතය නිවැරදි කරන හැටි.
එකකට එක ශ්‍රිත (One-one)
වෙනස් ආදානවලට සෑම විට ම වෙනස් ප්‍රතිදාන ලැබේ නම් $f$ ශ්‍රිතය එකකට එක ය. සංකේතවලින්: $$f(a) = f(b) \implies a = b.$$
- $f(x) = 3x - 5$ එකකට එක ය. $3a - 5 = 3b - 5$ නම් $3a = 3b$, එබැවින් $a = b$.
- $\mathbb{R}$ මත $g(x) = x^2$ එකකට එක නොවේ; $g(2) = g(-2) = 4$ වන අතර $2 \ne -2$ ය. මෙවැනි එක් යුගලයක් ප්‍රතික්ෂේප කිරීමට ප්‍රමාණවත් ය.
තිරස් රේඛා පරීක්ෂාව. $y = c$ තිරස් රේඛාවක් ප්‍රස්තාරය එක් වරකට වඩා කැපේ නම්, ආදාන දෙකකට ප්‍රතිදානය $c$ වන බැවින් $f$ එකකට එක නොවේ. එවැනි රේඛාවක් නොමැති නම් $f$ එකකට එක ය.
මත ශ්‍රිත (Onto)
$f: A \to B$ සඳහා, පරාසය සහවසමට සමාන නම්, එනම් $f(A) = B$ නම්, ශ්‍රිතය මත ශ්‍රිතයකි. $B$ හි සෑම අවයවයක් ම $A$ හි අවම වශයෙන් එක් අවයවයක ප්‍රතිබිම්බය විය යුතු ය.
- $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ මත නොවේ: $-1$ සහවසමේ ඇත, නමුත් $x^2 = -1$ ට තාත්ත්වික විසඳුමක් නැත.
- $f: \mathbb{R} \to [0, \infty)$, $f(x) = x^2$ මත වේ: ඕනෑම $y \ge 0$ සඳහා $x = \sqrt{y}$ ගන්න.
"මත" බව සහවසම මත රඳා පවතින නමුත් "එකකට එක" බව රඳා නොපවතී. සහවසම පරාසයට සමාන කළහොත් ශ්‍රිතය සෑම විට මත වේ.
ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිත (Bijections)
එකකට එක හා මත යන දෙක ම වන ශ්‍රිතයක් ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිතයකි. ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයක් ඇත්තේ ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිතවලට පමණි (ඊළඟ පාඩම්වල). අසමත් වන ශ්‍රිතයක් බොහෝ විට වසම හෝ සහවසම සීමා කිරීමෙන් නිවැරදි කළ හැකි ය:
- $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ වන $f(x) = x^2$ එකකට එක ද නොවේ, මත ද නොවේ.
- $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$, $f(x) = x^2$ ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිතයකි.
Example: $f: \mathbb{R} \setminus {3} \to \mathbb{R} \setminus {2}$, $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිතයක් බව පෙන්වන්න.
එකකට එක. $f(a) = f(b)$ යැයි ගනිමු. එවිට $(2a + 1)(b - 3) = (2b + 1)(a - 3)$. ප්‍රසාරණය කළ විට: $2ab - 6a + b - 3 = 2ab - 6b + a - 3$, එබැවින් $-6a + b = -6b + a$, එනම් $7b = 7a$ හා $a = b$.
මත. $y \in \mathbb{R} \setminus {2}$ යැයි ගනිමු. $y = \dfrac{2x+1}{x-3}$ විසඳූ විට $x(y - 2) = 3y + 1$, එබැවින් $x = \dfrac{3y+1}{y-2}$; $y \ne 2$ බැවින් මෙය අර්ථ දක්වා ඇත. තවද $x \ne 3$, මන්ද $x = 3$ සඳහා $3y + 1 = 3y - 6$ විය යුතු ය. එබැවින් $x$ වසමට අයත් වන අතර $f(x) = y$.
පිළිතුර: $f$ එකකට එක හා මත වන බැවින් එය ද්වි-සම්බන්ධ ශ්‍රිතයකි.
Example: $\mathbb{R}$ මත $f(x) = x^2 - 4x$ ලබා දී ඇත. එය එකකට එක නොවන බව පෙන්වා, $[a, \infty)$ මත $f$ එකකට එක වන කුඩාම $a$ සොයන්න.
$f(0) = 0$ හා $f(4) = 0$; වෙනස් ආදාන දෙකකට එක ම ප්‍රතිදානය ලැබේ: එකකට එක නොවේ. $f(x) = (x-2)^2 - 4$ ලියන්න. ප්‍රස්තාරය $x = 2$ වටා සමමිතික වන අතර එහි දකුණු පැත්තේ ඉහළට යයි. එබැවින් $[a, \infty)$ මත එය එකකට එක වන්නේ $a \ge 2$ විට පමණි.
පිළිතුර: $\mathbb{R}$ මත එකකට එක නොවේ; කුඩාම $a = 2$.
Exam tip: "$f$ එකකට එක බව පෙන්වන්න" යන්නට $f(a) = f(b)$ සිට ආරම්භ වන වීජ ගණිත සාධනයක් අවශ්‍ය ය. දළ සටහනකින් පමණක් සම්පූර්ණ ලකුණු නොලැබේ. "එකකට එක නොවේ" යන්නට පැහැදිලි ආදාන යුගලයක් ම සම්පූර්ණ පිළිතුරයි. මත බව ගැන කතා කරන විට සහවසම පැහැදිලිව සඳහන් කරන්න.