සංඛ්‍යා පද්ධති: N, Z, Q හා R
ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා, නිඛිල, පරිමේය හා අපරිමේය සංඛ්‍යා, තාත්ත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව, සහ දශම මගින් සංඛ්‍යාවක් අයත් වර්ගය හඳුනාගන්නා ආකාරය.
සංඛ්‍යා වර්ග
ගණිතයේ දී සංඛ්‍යා සාදා ගන්නේ පියවරෙන් පියවර ය; එක් පියවරක් කළ නොහැකි දෙයක් ඊළඟ පියවරෙන් විසඳේ.
- ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා $\mathbb{N} = {1, 2, 3, \dots}$ යනු ගණන් කිරීමේ සංඛ්‍යා ය. (සමහර පොත්වල 0 ද ඇතුළත් ය. මේ පාඨමාලාවේ $\mathbb{N}$ ආරම්භ වන්නේ 1 න් ය; 0 ද අවශ්‍ය විට "ඍණ නොවන නිඛිල" යැයි කියමු.)
- නිඛිල $\mathbb{Z} = {\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots}$ ශූන්‍යය හා ඍණ සංඛ්‍යා එකතු කරයි; එවිට $a - b$ සෑම විට ම පවතී.
- පරිමේය සංඛ්‍යා $\mathbb{Q} = \left{\dfrac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0\right}$ භාග එකතු කරයි; එවිට $b \neq 0$ නම් $a \div b$ පවතී. $n = \dfrac{n}{1}$ නිසා සෑම නිඛිලයක් ම පරිමේය ය.
- අපරිමේය සංඛ්‍යා නිඛිල $p, q$ සමඟ $\dfrac{p}{q}$ ආකාරයට ලිවිය නොහැක. උදාහරණ: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\pi$, $e$.
- තාත්ත්වික සංඛ්‍යා $\mathbb{R}$ යනු සියලු පරිමේය හා අපරිමේය සංඛ්‍යා එකට ගත් කුලකය යි.
එබැවින් $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ වේ; තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් පරිමේය හෝ අපරිමේය වන අතර දෙක ම කිසි විටෙක නොවේ.
තාත්ත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව
$0$ සඳහා $O$ ලක්ෂ්‍යයක් හා $1$ සඳහා ලක්ෂ්‍යයක් තෝරන්න. එවිට සෑම තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවකට ම රේඛාවේ නිශ්චිත එක ලක්ෂ්‍යයක් ද, සෑම ලක්ෂ්‍යයකට ම නිශ්චිත එක තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් ද ගැළපේ. විශාල සංඛ්‍යා දකුණට වැටේ. $\mathbb{R}$ හඳුන්වන්නේ අඛණ්ඩ (continuum) කුලකයක් ලෙස ය: එහි හිඩැස් නැත. පරිමේය සංඛ්‍යා පමණක් ගත් විට හිඩැස් ඇත. $O$ සිට $\sqrt{2}$ දුරින් ඇති ලක්ෂ්‍යය (ඒකක සමචතුරස්‍රයක විකර්ණය) රේඛාවේ ඇත, නමුත් එය භාගයක් නොවේ.
දශම මගින් වර්ගය හඳුනා ගැනීම
දිගු බෙදීමෙන් $p$ ව $q$ න් බෙදන්න. ශේෂ $q$ ට වඩා කුඩා බැවින්, ඒවා $0$ වේ (දශමය අවසන් වේ) හෝ නැවත නැවත එයි (දශමය පුනරාවර්තනය වේ). එබැවින්:
- පරිමේය $\iff$ දශමය අවසන් වේ හෝ පුනරාවර්තනය වේ: $\dfrac{3}{8} = 0.375$, $\dfrac{1}{3} = 0.\dot{3}$, $\dfrac{5}{7} = 0.\dot{7}1428\dot{5}$.
- අපරිමේය $\iff$ දශමය අවසන් නොවන අතර පුනරාවර්තනය ද නොවේ: $\sqrt{2} = 1.41421356\dots$, $\pi = 3.14159265\dots$, සහ $0.101001000100001\dots$ රටාව (බිංදු ගණන වැඩි වන නිසා කිසි දිනෙක පුනරාවර්තනය නොවේ).
ගණක යන්ත්‍රයක පෙන්වන්නේ දශමයේ සීමිත කොටසක් පමණි. $3.14159$ යනු $\pi$ හි පරිමේය ආසන්නයකි, $\pi$ ම නොවේ; $\dfrac{22}{7}$ ද එවැනි තවත් ආසන්නයකි.
පුනරාවර්තන දශමයක් භාගයක් බවට පත් කිරීම
දශමය $x$ යැයි ගනිමු. පුනරාවර්තන කොටසේ දිග $n$ නම් $x$ ව $10^n$ න් ගුණ කර, වලිග කොටස නැති වන සේ අඩු කරන්න.
උදාහරණය: $0.2\dot{7} = 0.27777\dots$ භාගයක් ලෙස ලියන්න. $x = 0.27777\dots$ යැයි ගනිමු. එවිට $10x = 2.7777\dots$, $100x = 27.7777\dots$. අඩු කළ විට $100x - 10x = 27.7777\dots - 2.7777\dots$ නිසා $90x = 25$; එබැවින් $x = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}$. පරීක්ෂාව: $5 \div 18 = 0.2777\dots$.
පරිමේය හා අපරිමේය සංඛ්‍යා සංයෝජනය
- පරිමේය සංඛ්‍යාවල එකතුව, අන්තරය, ගුණිතය හා ලබ්ධිය (භාජකය $\neq 0$) පරිමේය ය.
- පරිමේයයක් + අපරිමේයයක් අපරිමේය ය. ශූන්‍ය නොවන පරිමේයයක් × අපරිමේයයක් අපරිමේය ය. (සාධන ඊළඟ පාඩමේ ඇත.)
- අපරිමේය දෙකක් එකතු කිරීමෙන් ලැබෙන්නේ ඕනෑ ම වර්ගයක් විය හැකි ය: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ හා $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ පරිමේය ය, නමුත් $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ අපරිමේය ය.
- ධන නිඛිලයක් $n$ සඳහා $\sqrt{n}$ පරිමේය වන්නේ $n$ පූර්ණ වර්ගයක් නම් පමණි ($\sqrt{16} = 4$); නැතිනම් අපරිමේය ය.
උදාහරණය: පහත සංඛ්‍යා එක් එකක් ප්‍රකෘති, නිඛිල, පරිමේය හෝ අපරිමේය ලෙස (ගැළපෙන සියල්ල) වර්ග කරන්න: (i) $\sqrt{\dfrac{49}{4}}$, (ii) $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$, (iii) $\sqrt{2} + \sqrt{8}$. (i) $\sqrt{\dfrac{49}{4}} = \dfrac{7}{2}$: පරිමේය ය, නමුත් නිඛිලයක් නොවේ. (ii) $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3$: ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවකි; එබැවින් නිඛිලයක් ද පරිමේයයක් ද වේ. (iii) $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ නිසා $\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}$; එය ශූන්‍ය නොවන පරිමේයයක් × අපරිමේයයක් බැවින් අපරිමේය ය.
Exam tip: "වර්ග කරන්න" හෝ "මෙය පරිමේය බව පෙන්වන්න" යනුවෙන් ඉල්ලූ විට මුලින් ම සුළු කරන්න. අපරිමේය ලෙස පෙනෙන බොහෝ සංඛ්‍යා (උදා: $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$) නිඛිල බවට සුළු වේ. සංඛ්‍යාවක් පරිමේය බව පෙන්වීමට එය $\dfrac{p}{q}$ ලෙස ලියා $p$ හා $q$ මොනවා දැයි සඳහන් කරන්න.