තලයක චලිතය: පිහිටුම, ප්‍රවේග සහ ත්වරණ දෛශික
තලයක චලනය වන අංශුවක් එහි පිහිටුම් දෛශිකය $\mathbf{r}(t)$ මගින් විස්තර කර, අවකලනයෙන් ප්‍රවේගය සහ ත්වරණය සොයා, නියත ත්වරණයේ දෛශික සමීකරණ භාවිත කර, කාටිසීය සහ ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක අතර මාරු වන ආකාරය.
පිහිටුම දෛශිකයක් ලෙස
අංශුවක් තලයක චලනය වන විට එක් සංඛ්‍යාවක් ප්‍රමාණවත් නොවේ. මූල ලක්ෂ්‍යයක් $O$ සහ ලම්බක ඒකක දෛශික $\mathbf{i}$ ($x$-අක්ෂය දිගේ) සහ $\mathbf{j}$ ($y$-අක්ෂය දිගේ) තෝරාගන්න. අංශුවේ පිහිටුම් දෛශිකය $$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j},$$ වේ; මෙහි $x$ සහ $y$ එහි කාටිසීය ඛණ්ඩාංක ය. අංශුව චලනය වන විට $x$ සහ $y$ කාලයත් සමඟ වෙනස් වේ; එබැවින් $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ වේ. $\mathbf{r}$ හි අගට ඇඳෙන වක්‍රය අංශුවේ ගමන් මාර්ගය (පථය) වේ.
ප්‍රවේග සහ ත්වරණ දෛශික
$t_1$ සිට $t_2$ දක්වා විස්ථාපනය $\mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1)$ ය. එය කාල ප්‍රාන්තරයෙන් බෙදූ විට මධ්‍යක ප්‍රවේගය ලැබේ; ප්‍රාන්තරය ශූන්‍යයට ළං කළ විට ක්ෂණික ප්‍රවේගය $$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{x}\mathbf{i} + \dot{y}\mathbf{j}.$$ ලැබේ. මෙහි තිතකින් $\dfrac{d}{dt}$ අදහස් වේ. ප්‍රවේග දෛශිකය සෑම විට ම ගමන් මාර්ගයට ස්පර්ශක වේ (රූපය බලන්න). එලෙසින් ම $$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \ddot{x}\mathbf{i} + \ddot{y}\mathbf{j}.$$
වේගය $|\mathbf{v}| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}$ වේ. $\mathbf{v}$ විසින් $\mathbf{i}$ සමඟ සාදන කෝණය $\theta$ නම් $\tan\theta = \dot{y}/\dot{x}$ වේ. $\dot{y} = 0$ වන විට අංශුව $x$-අක්ෂයට සමාන්තරව ද $\dot{x} = 0$ වන විට $y$-අක්ෂයට සමාන්තරව ද චලනය වේ. අනෙක් දිශාවට යාමට ($\mathbf{a}$ සිට $\mathbf{v}$ ට, ඉන්පසු $\mathbf{r}$ ට) සංරචක එකින් එක අනුකලනය කර, ආරම්භක අවස්ථාවලින් නියත සොයාගන්න.
උදාහරණය: අංශුවක පිහිටුම් දෛශිකය $\mathbf{r} = 2t,\mathbf{i} + (t^2 - 4t),\mathbf{j}$ (මීටර්, තත්පර) ය. $t = 3$ දී එහි ප්‍රවේගය, වේගය සහ ත්වරණය ද, එය $x$-අක්ෂයට සමාන්තරව චලනය වන කාලය ද සොයන්න. $\mathbf{v} = 2\mathbf{i} + (2t - 4)\mathbf{j}$ සහ $\mathbf{a} = 2\mathbf{j}$. $t = 3$ දී: $\mathbf{v} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$, වේගය $= \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\text{ m s}^{-1}$, $\mathbf{i}$ ට ඉහළින් $45^\circ$ ක දිශාවකට; $\mathbf{a} = 2\mathbf{j}\text{ m s}^{-2}$ (නියත). $\dot{y} = 2t - 4 = 0$ වන විට, එනම් $t = 2$ දී, චලිතය $x$-අක්ෂයට සමාන්තර වන අතර එවිට $\mathbf{r} = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j}$.
තලයක නියත ත්වරණය
$\mathbf{a}$ නියත දෛශිකයක් නම් සංරචක එකින් එක දෙවරක් අනුකලනය කිරීමෙන් සරල රේඛා සමීකරණවල දෛශික ආකාර ලැබේ: $$\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{a}t, \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{u}t + \tfrac12\mathbf{a}t^2,$$ මෙහි $\mathbf{u}$ ආරම්භක ප්‍රවේගය ද $\mathbf{r}_0$ ආරම්භක පිහිටුම ද වේ. මෙය 2 වන පාඩමේ සරල රේඛා චලිතය $\mathbf{i}$ සහ $\mathbf{j}$ දිශාවලට ස්වායත්තව යෙදීම ම ය. (පසු පාඩමක මාතෘකාව වන ප්‍රක්ෂිප්තය යනු $\mathbf{a} = -g\mathbf{j}$ වන විශේෂ අවස්ථාවයි.)
උදාහරණය: අංශුවක් පිහිටුම් දෛශිකය $\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ වූ ලක්ෂ්‍යයෙන් $3\mathbf{i} - \mathbf{j}$ ප්‍රවේගයෙන් ආරම්භ වී $-2\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ නියත ත්වරණයක් ඇතිව චලනය වේ. $t = 2$ දී එහි පිහිටුම සහ වේගය ද, එවිට $O$ සිට දුර ද සොයන්න. $\mathbf{r} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) + (3\mathbf{i} - \mathbf{j})t + \tfrac12(-2\mathbf{i} + 2\mathbf{j})t^2 = (1 + 3t - t^2)\mathbf{i} + (2 - t + t^2)\mathbf{j}$. $t = 2$ දී: $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$; එබැවින් $O$ සිට දුර $\sqrt{9 + 16} = 5\text{ m}$. $\mathbf{v} = (3 - 2t)\mathbf{i} + (-1 + 2t)\mathbf{j}$; $t = 2$ දී එය $-\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ වන බැවින් වේගය $\sqrt{10}\text{ m s}^{-1}$ වේ.
කාටිසීය සහ ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක
එම ලක්ෂ්‍යය ම $O$ සිට එහි දුර $r$ සහ $\mathbf{r}$ ධන $x$-අක්ෂය සමඟ සාදන කෝණය $\theta$ (වාමාවර්තව මනිනු ලබන) මගින් ද දැක්විය හැකි ය: මේවා ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක $(r, \theta)$ ය. ඒවා කාටිසීය ඛණ්ඩාංක සමඟ මෙසේ සම්බන්ධ වේ: $$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta;\qquad r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \tan\theta = \frac{y}{x}.$$ $\tan\theta = y/x$ භාවිත කරන විට $x$ සහ $y$ හි ලකුණුවලින් වෘත්ත පාදකය තීරණය කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස $(3, 4)$ ලක්ෂ්‍යයේ $r = 5$ ද $\theta = \tan^{-1}\dfrac{4}{3} \approx 53.1^\circ$ ද වේ; එබැවින් $\mathbf{r} = 5\cos\theta,\mathbf{i} + 5\sin\theta,\mathbf{j}$. වෘත්තයක චලිතයට හෝ දිශාවක් දිගංශයක් ලෙස දීමට ධ්‍රැවක ආකාරය ස්වාභාවික ය; දෛශික එකතු කිරීමට සහ ප්‍රක්ෂිප්තවලට කාටිසීය ආකාරය වඩා හොඳ ය.
Exam tip: මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ II පත්‍රයේ ප්‍රශ්නවල $\mathbf{r}$ හෝ $\mathbf{v}$ $t$ හි සූත්‍රයක් ලෙස දී "$t = \dots$ දී ප්‍රවේගය", "අංශුව $\mathbf{i}$ ට සමාන්තරව චලනය වන කාලය", "අවම වේගය" හෝ "දී ඇති කාලයක දී $O$ සිට දුර" අසයි. සංරචක එකින් එක අවකලනය කර, පිළිතුර දෛශිකයක් ලෙස ලියා, විශාලත්වය වෙනම දක්වන්න. අවම වේගය සඳහා වර්ගමූලය මඟහරින්නට $|\mathbf{v}|$ වෙනුවට $|\mathbf{v}|^2$ ($t$ හි වර්ගජයක්) අවම කරන්න. $|\mathbf{r}|$ ($O$ සිට දුර) සහ ගමන් මාර්ගය දිගේ ගමන් කළ දුර පටලවා නොගන්න.