මාපාංකය හා මාපාංක සමීකරණ
තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක මාපාංකය (නිරපේක්ෂ අගය), එහි ප්‍රස්තාරය හා ගුණ, සහ මාපාංක සහිත සමීකරණ අවස්ථා වශයෙන්, වර්ග කිරීමෙන් හා ප්‍රස්තාරවලින් විසඳීම.
මාපාංකය (නිරපේක්ෂ අගය)
තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් $x$ හි මාපාංකය, $|x|$ ලෙස ලියනු ලබන අතර, එය ලකුණ නොසලකා එහි විශාලත්වයයි: $$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \ -x, & x < 0 \end{cases}$$ එබැවින් $|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$. $x$ ඍණ වන විට $-x$ ධන බව සැලකිල්ලට ගන්න. ජ්‍යාමිතිකව $|x|$ යනු සංඛ්‍යා රේඛාවේ $x$ සිට $0$ දක්වා දුර ය; පොදුවේ $|a - b|$ යනු $a$ හා $b$ අතර දුර ය. උදාහරණයක් ලෙස $|x - 3| = 2$ මගින් $3$ සිට ඒකක $2$ ක් දුරින් පිහිටි ලක්ෂ්‍ය, එනම් $1$ හා $5$, අසයි.
ගුණ
තාත්ත්වික සංඛ්‍යා $a, b$ සඳහා:
- $|a| \ge 0$, හා $|a| = 0$ වන්නේ $a = 0$ විට පමණි.
- $|a| = \sqrt{a^2}$ හා $|a|^2 = a^2$. (එබැවින් ඍණ $a$ සඳහා $\sqrt{a^2} = a$ යන්න අසත්‍ය ය.)
- $b \ne 0$ සඳහා $|ab| = |a||b|$ හා $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$.
- $-|a| \le a \le |a|$.
- ත්‍රිකෝණ අසමානතාව: $|a + b| \le |a| + |b|$.
- $|a| = |b|$ වන්නේ $a = b$ හෝ $a = -b$ වන විට පමණි.
ප්‍රස්තාරය
$x \ge 0$ සඳහා $y = x$ ද, $x < 0$ සඳහා $y = -x$ ද අඳින්න: මූල ලක්ෂ්‍යයේදී හමුවන අර්ධ රේඛා දෙකෙන් V හැඩයක් සෑදේ. ප්‍රස්තාරය $y$-අක්ෂය වටා සමමිතික ය. විචල්‍යය මාරු කිරීමෙන් V එක ගමන් කරයි: $y = |x - 1|$ හි ශීර්ෂය $(1, 0)$ වන අතර එහි බාහු දෙකේ අනුක්‍රමණ $+1$ හා $-1$. එලෙසම $y = |x| + 2$ යනු $2$ කින් ඉහළට ඔසවන ලද V ය; $y = |2x - 3|$ හි ශීර්ෂය $2x - 3 = 0$ වන තැන, $x = \tfrac32$ හි ඇත. ඕනෑම $y = |f(x)|$ දළ සටහන් කිරීමට: $y = f(x)$ අඳින්න; $x$-අක්ෂයට පහළින් ඇති සෑම කොටසක්ම $x$-අක්ෂය වටා පරාවර්තනය කරන්න.
මාපාංක සමීකරණ විසඳීම
වර්ගය 1: $|f| = k$, $k$ සංඛ්‍යාවක්. $k > 0$ නම් $f = k$ හෝ $f = -k$. $k = 0$ නම් $f = 0$. $k < 0$ නම් විසඳුමක් නැත, මන්ද මාපාංකයක් කිසිවිටක ඍණ නොවේ.
උදාහරණය: $|2x - 3| = 5$ විසඳන්න. $2x - 3 = 5$ වන විට $x = 4$. $;2x - 3 = -5$ වන විට $x = -1$. පිළිතුර: $x = 4$ හෝ $x = -1$. (පරීක්ෂාව: $|8 - 3| = 5$ හා $|-2 - 3| = 5$.)
වර්ගය 2: $|f| = |g|$. එවිට $f = g$ හෝ $f = -g$ (නැතහොත් දෙපැත්තම වර්ග කරන්න).
උදාහරණය: $|x + 1| = |2x - 3|$ විසඳන්න. $x + 1 = 2x - 3$ වන විට $x = 4$. $;x + 1 = -(2x - 3) = -2x + 3$ වන විට $3x = 2$, $x = \tfrac23$. $x = 4$ පරීක්ෂා කරන්න: $5 = 5$. $x = \tfrac23$ පරීක්ෂා කරන්න: $\tfrac53 = \left|\tfrac43 - 3\right| = \tfrac53$. පිළිතුර: $x = 4$ හෝ $x = \tfrac23$.
වර්ගය 3: $|f| = g$, $g$ ප්‍රකාශනයක්. දකුණු පැත්ත $\ge 0$ විය යුතු බැවින් $f = g$ හා $f = -g$ විසඳා, $g < 0$ කරන ඕනෑම අගයක් ඉවත් කරන්න.
උදාහරණය: $|x - 1| = 2x$ විසඳන්න. අපට $2x \ge 0$, එනම් $x \ge 0$ අවශ්‍ය ය. $x - 1 = 2x$ වන විට $x = -1$: $x \ge 0$ අසත්‍ය නිසා ප්‍රතික්ෂේප කෙරේ. $x - 1 = -2x$ වන විට $3x = 1$, $x = \tfrac13$: පිළිගනී. පරීක්ෂාව: $\left|\tfrac13 - 1\right| = \tfrac23 = 2 \cdot \tfrac13$. පිළිතුර: $x = \tfrac13$ පමණි.
වර්ගය 4: මාපාංක කිහිපයක්. අවස්ථා වශයෙන් විසඳන්න. සෑම මාපාංකයක් තුළම ඇති ප්‍රකාශනය $0$ වන අගයන් (අවධි ලක්ෂ්‍ය) සොයා, සංඛ්‍යා රේඛාව එතැනින් බෙදා, එක් එක් කොටසේ නිවැරදි ලකුණු සහිතව මාපාංක ඉවත් කරන්න. තමන්ගේම කොටසට අයත් විසඳුම් පමණක් තබා ගන්න.
උදාහරණය: $|x - 1| + |x + 2| = 5$ විසඳන්න. අවධි ලක්ෂ්‍ය $x = 1$ හා $x = -2$. අවස්ථාව $x < -2$: $|x - 1| = 1 - x$ හා $|x + 2| = -x - 2$. සමීකරණය $-2x - 1 = 5$, එබැවින් $x = -3$. $-3 < -2$ නිසා පිළිගනී. අවස්ථාව $-2 \le x < 1$: $|x - 1| = 1 - x$, $|x + 2| = x + 2$. සමීකරණය $3 = 5$: කිසිවිටක සත්‍ය නොවේ. විසඳුමක් නැත. අවස්ථාව $x \ge 1$: $(x - 1) + (x + 2) = 2x + 1 = 5$, එබැවින් $x = 2$. $2 \ge 1$ නිසා පිළිගනී. පිළිතුර: $x = -3$ හෝ $x = 2$.
ප්‍රස්තාර ක්‍රමයෙන්ද එම පිළිතුරම ලැබේ: $|f(x)| = g(x)$ හි විසඳුම් යනු $y = |f(x)|$ හා $y = g(x)$ ප්‍රස්තාර හමුවන ලක්ෂ්‍යවල $x$-ඛණ්ඩාංක ය; ඉහත රූපයේ $y = |x - 1|$ ප්‍රස්තාරය $y = 2$ ට $x = -1$ හා $x = 3$ හිදී හමුවේ.
Exam tip: මාපාංකය පිළිබඳ A/L ප්‍රශ්න සාමාන්‍යයෙන් "$|f(x)| = g(x)$ සමීකරණය විසඳන්න" හෝ "$y = |x - 1|$ හා $y = 2x$ ප්‍රස්තාර එකම සටහනක දළ සටහන් කර, එමගින් ... විසඳන්න" ලෙස අසයි. ප්‍රස්තාර කොටසේ ශීර්ෂය, ඡේදන ලක්ෂ්‍ය හා ඛණ්ඩාංක නම් කරන්න; වීජීය විසඳුම රූපයේ පෙනෙන දෙයට ගැලපිය යුතු ය. වර්ගය 3 සමීකරණයක පිළිතුරු සැමවිටම පරීක්ෂා කරන්න: වැරදි "අමතර" මූලයක් ලකුණු නැති වීමට සුලභ හේතුවකි.