ප්‍රතිවිරෝධයෙන් සාධනය, $\sqrt{2}$ අපරිමේය බවට සම්භාව්‍ය සාධනය, සහ එය වෙනත් මූල හා එකතුවලට දිගු කිරීම.
සෑම භාගයක් ම ($\dfrac{p}{q}$) පරීක්ෂා කර ඒවායෙන් එකක්වත් $\sqrt{2}$ ට සමාන නොවන බව දැක්විය නොහැකි ය. ඒ වෙනුවට ප්‍රතිවිරෝධයෙන් සාධනය භාවිත කරමු:
ප්‍රමේයිකාව. $a$ නිඛිලයක් වී $a^2$ ඉරට්ටේ නම්, $a$ ඉරට්ටේ ය.
සාධනය. $a$ ඔත්තේ යැයි ගනිමු, $a = 2k + 1$. එවිට $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ ඔත්තේ ය. එබැවින් ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක වර්ගය ඔත්තේ ය. එනම් වර්ගය ඉරට්ටේ නම් සංඛ්‍යාව ඔත්තේ විය නොහැකි ය. $\square$
ප්‍රමේයය. $\sqrt{2}$ පරිමේය නොවේ.
සාධනය. $\sqrt{2}$ පරිමේය යැයි ගනිමු. එවිට පොදු සාධකයක් නැති ධන නිඛිල $a, b$ සඳහා $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ (පොදු සාධකයක් ඇත්නම් මුලින් ම කපා හරිමු). වර්ග කළ විට $2 = \dfrac{a^2}{b^2}$; එබැවින් $$a^2 = 2b^2.$$ එනම් $a^2$ ඉරට්ටේ ය; ප්‍රමේයිකාව අනුව $a$ ඉරට්ටේ ය. $a = 2k$ ලෙස ලියමු. එවිට $4k^2 = 2b^2$, එබැවින් $b^2 = 2k^2$ ඉරට්ටේ ය; $b$ ද ඉරට්ටේ ය.
දැන් $a$ හා $b$ දෙක ම ඉරට්ටේ බැවින් ඒවාට 2 පොදු සාධකයක් ලෙස ඇත. මෙය "පොදු සාධකයක් නැත" යන්නට ප්‍රතිවිරුද්ධ ය. එබැවින් $\sqrt{2}$ අපරිමේය ය. $\square$
"ප්‍රථමක $p$ මගින් $a^2$ බෙදේ නම් $p$ මගින් $a$ බෙදේ" යන්න භාවිත කර, සෑම ප්‍රථමක $p$ සඳහා ම $\sqrt{p}$ අපරිමේය බව එම අදහසින් ම පෙන්විය හැකි ය.
උදාහරණය: $\sqrt{5}$ අපරිමේය බව සාධනය කරන්න. පොදු සාධකයක් නැති ධන නිඛිල $a, b$ සඳහා $\sqrt{5} = \dfrac{a}{b}$ යැයි ගනිමු. එවිට $a^2 = 5b^2$; එබැවින් $a^2$ ට 5 බෙදේ. $a$ ට 5 නොබෙදේ නම් $a = 5k + r$ ($r \in {1, 2, 3, 4}$) වන අතර $a^2 = 25k^2 + 10kr + r^2$ ය; 5 න් බෙදූ විට ශේෂය $r^2$ හි ශේෂයට සමාන ය. $r = 1, 2, 3, 4$ සඳහා $r^2 = 1, 4, 9, 16$ වන අතර ශේෂ $1, 4, 4, 1$ වේ; ඒවා කිසි විටෙක $0$ නොවේ. එබැවින් $a$ ට 5 බෙදේ: $a = 5k$. එවිට $25k^2 = 5b^2$, එබැවින් $b^2 = 5k^2$ ද එම තර්කයෙන් ම $b$ ට 5 බෙදේ. එබැවින් 5 යනු $a$ හා $b$ හි පොදු සාධකයකි; ප්‍රතිවිරෝධයකි. එබැවින් $\sqrt{5}$ අපරිමේය ය.
$\sqrt{2}$ අපරිමේය බව දැනගත් පසු, කෙටි ප්‍රතිවිරෝධයකින් තවත් බොහෝ සංඛ්‍යා අපරිමේය බව පෙන්විය හැකි ය.
නීතිය A. $x$ අපරිමේය හා $r$ පරිමේය නම් $r + x$ අපරිමේය ය. හේතුව: $r + x = s$ පරිමේය නම් $x = s - r$ පරිමේය වේ.
නීතිය B. $x$ අපරිමේය හා $r \neq 0$ පරිමේය නම් $rx$ අපරිමේය ය. හේතුව: $rx = s$ පරිමේය නම් $x = \dfrac{s}{r}$ පරිමේය වේ. ($r \neq 0$ කොන්දේසිය වැදගත් ය: $0 \cdot \sqrt{2} = 0$.)
උදාහරණය: $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}$ අපරිමේය බව සාධනය කරන්න. ලවය හා හරය $\sqrt{2} - 1$ න් ගුණ කරන්න: $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$. $\sqrt{2} - 1 = r$ ($r$ පරිමේය) යැයි ගනිමු. එවිට $\sqrt{2} = r + 1$ පරිමේය වේ; එය $\sqrt{2}$ අපරිමේය බවට ප්‍රතිවිරුද්ධ ය. එබැවින් $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}$ අපරිමේය ය.
උදාහරණය: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ අපරිමේය බව සාධනය කරන්න ($\sqrt{2}$ අපරිමේය බව භාවිත කළ හැකි ය). $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$ ($r$ පරිමේය) යැයි ගනිමු; $r > 0$. එවිට $\sqrt{3} = r - \sqrt{2}$. වර්ග කළ විට $3 = r^2 - 2r\sqrt{2} + 2$; එබැවින් $2r\sqrt{2} = r^2 - 1$ හා $\sqrt{2} = \dfrac{r^2 - 1}{2r}$. දකුණු පස පරිමේය ය ($r \neq 0$ නිසා), නමුත් $\sqrt{2}$ අපරිමේය ය. මෙය ප්‍රතිවිරෝධයකි; එබැවින් $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ අපරිමේය ය.
Exam tip: මෙවැනි සෑම සාධනයක් ම "...පරිමේය යැයි ප්‍රතිවිරෝධයක් සඳහා උපකල්පනය කරමු" ලෙස ආරම්භ කර, ප්‍රතිවිරුද්ධ වන නිශ්චිත කරුණ සඳහන් කරමින් අවසන් කරන්න. $\sqrt{2}$ සාධනයේ දී $\dfrac{a}{b}$ අඩු ම පදවලින් ඇති බව පැහැදිලිව ලියන්න; එම උපකල්පනයටත් අවසාන "දෙක ම ඉරට්ටේ" ප්‍රතිවිරෝධයටත් ලකුණු හිමි වේ.