ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත
ශ්‍රිතයකට ප්‍රතිලෝමයක් ඇත්තේ කවදාද, එය වීජීයව සොයන හැටි, එහි ප්‍රස්තාරය y = x හි පරාවර්තනයක් වන හැටි සහ සංයුක්ත ශ්‍රිතයක ප්‍රතිලෝමය.
අදහස
$f$ ශ්‍රිතය $x$ ව $y = f(x)$ බවට පත් කරයි. ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය $f^{-1}$ මෙය අහෝසි කර $y$ නැවත $x$ බවට පත් කරයි. එය පවතින්නේ සහවසමේ සෑම $y$ එකක් ම එක් $x$ එකකින් පමණක් ලැබෙන විට පමණි: එනම් $f$ එකකට එක හා මත (ද්වි-සම්බන්ධ) වන විට පමණි. $$f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y.$$ $f^{-1}$ හි වසම $f$ හි පරාසය වන අතර, $f^{-1}$ හි පරාසය $f$ හි වසම වේ.
Careful: $f^{-1}(x)$ යනු $\dfrac{1}{f(x)}$ නොවේ. මෙහි $-1$ යනු "ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතය" යන්නයි.
ප්‍රතිලෝමය සෙවීම
- $f$ එකකට එක දැයි පරීක්ෂා කරන්න (අවශ්‍ය නම් වසම සීමා කරන්න).
- $y = f(x)$ ලියා $x$ ව $y$ ඇසුරෙන් විසඳන්න.
- $y$ වෙනුවට $x$ ලියා $f^{-1}(x)$ ලබා ගන්න.
- $f^{-1}$ හි වසම ($= f$ හි පරාසය) දක්වන්න.
Example: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ හි වසම $\mathbb{R} \setminus {3}$ හා පරාසය $\mathbb{R} \setminus {2}$ වේ. $f^{-1}$ සොයන්න.
$y = \dfrac{2x+1}{x-3}$ සිට: $y(x - 3) = 2x + 1$, එබැවින් $x(y - 2) = 3y + 1$, එනම් $x = \dfrac{3y + 1}{y - 2}$. $y$ වෙනුවට $x$ ලියන්න.
පිළිතුර: $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$, වසම $\mathbb{R} \setminus {2}$.
Example: $f(x) = x^2 - 4x + 7$ හි වසම $[2, \infty)$ වේ. $f^{-1}$ හා එහි වසම සොයන්න.
$f(x) = (x - 2)^2 + 3$. $[2, \infty)$ මත ශ්‍රිතය වර්ධනය වන බැවින් එකකට එක වන අතර පරාසය $[3, \infty)$. $y = (x - 2)^2 + 3$ ගන්න. එවිට $(x - 2)^2 = y - 3$. $x \ge 2$ බැවින් $x - 2 \ge 0$, එබැවින් $x - 2 = +\sqrt{y - 3}$ (ධන මූලය පමණි), එනම් $x = 2 + \sqrt{y - 3}$.
පිළිතුර: $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}$, වසම $[3, \infty)$.
ප්‍රතිලෝමයේ ප්‍රස්තාරය
$f$ හි ප්‍රස්තාරයේ $(a, b)$ ලක්ෂ්‍යයක් ඇත්නම් $f^{-1}$ හි ප්‍රස්තාරයේ $(b, a)$ ඇති බැවින්, ප්‍රස්තාර දෙක $y = x$ රේඛාවේ දර්පණ ප්‍රතිබිම්බ වේ.
මෙහි $x \ge 0$ සඳහා $f(x) = x^2$ හා $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ වේ. $(2, 4)$ ලක්ෂ්‍යය $(4, 2)$ වේ. $f$ හා $f^{-1}$ හි $y = x$ මත ඇති ඡේදන ලක්ෂ්‍ය $f(x) = x$ සපුරයි. වර්ධනය වන ශ්‍රිතයක් සඳහා $f(x) = f^{-1}(x)$ විසඳීම $f(x) = x$ විසඳීමට සමාන ය.
සංයුක්තයක ප්‍රතිලෝමය, ස්වයං-ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත
$$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}.$$ මුලින් මේස් ද, ඉන්පසු සපත්තු ද දමා ගන්නා අයුරු සිතන්න: ඒවා ගලවන විට මුලින් ගලවන්නේ සපත්තු ය. සියලු $x$ සඳහා $f \circ f(x) = x$ නම් $f^{-1} = f$ වන අතර $f$ ස්වයං-ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයකි; එහි ප්‍රස්තාරය $y = x$ වටා සමමිතික වේ.
Exam tip: සුලබ ප්‍රශ්න: "$f^{-1}$ සොයා එහි වසම දක්වන්න", "$f$ හා $f^{-1}$ එකම අක්ෂ මත දළ සටහන් කරන්න" සහ "$f(x) = f^{-1}(x)$ විසඳන්න". $y = \dots \to x = \dots$ ලෙස වැඩ පැහැදිලිව පෙන්වන්න. වසම සීමා කර ඇත්නම් (උදා: $x \ge 2$) ඊට ගැළපෙන මූල ලකුණ තෝරා එයට හේතුව කියන්න.