කුලක හා ප්‍රාන්තර
කුලක අංකනය, තාත්ත්වික රේඛාවේ උපකුලක සඳහා ප්‍රාන්තර අංකනය, මේලය, ඡේදනය, අනුපූරකය, සහ අසමානතාවක විසඳුම ප්‍රාන්තරයක් ලෙස ලිවීම.
කුලක අංකනය
කුලකයක් යනු අවයව (elements) ලෙස හඳුන්වන වෙනස් වස්තු එකතුවකි. කුලකයක් ලියන්නේ වරහන් ({ }) මගිනි: $A = {1, 2, 3}$.
| සංකේතය | තේරුම |
|---|---|
| $x \in A$, $x \notin A$ | $x$ යනු $A$ හි අවයවයක් ය, හෝ නොවේ |
| $A \subset B$ | $A$ හි සෑම අවයවයක් ම $B$ හි ඇත ($A$ යනු $B$ හි උපකුලකයකි) |
| $\emptyset$ | අවයව නොමැති හිස් කුලකය |
| $A \cup B$ | මේලය: $A$ හෝ $B$ (හෝ දෙක ම) හි ඇති |
| $A \cap B$ | ඡේදනය: $A$ හා $B$ දෙක ම හි ඇති |
| $A \setminus B$ | අන්තරය: $A$ හි ඇති නමුත් $B$ හි නැති |
| $A'$ | අනුපූරකය: සර්වත්‍ර කුලකයේ ඇති නමුත් $A$ හි නැති |
සංඛ්‍යා කුලක බොහෝ විට ලියන්නේ කුලක සාදන අංකනයෙනි: ${x \in \mathbb{R} : x^2 < 4}$ යන්නෙන් "$x^2 < 4$ වන සියලු තාත්ත්වික $x$" යන්න අදහස් වේ. ":" සලකුණ "එවැනි වන" ලෙස කියවයි.
ප්‍රාන්තර
ප්‍රාන්තරයක් යනු අන්ත ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර ඇති සියලු තාත්ත්වික සංඛ්‍යා කුලකය යි. එහි අන්ත ලක්ෂ්‍ය අයත් විය හැකි ය, නොවිය හැකි ය.
| ප්‍රාන්තරය | කුලක සාදන ආකාරය | නම |
|---|---|---|
| $(a, b)$ | ${x : a < x < b}$ | විවෘත |
| $[a, b]$ | ${x : a \leq x \leq b}$ | සංවෘත |
| $[a, b)$ | ${x : a \leq x < b}$ | අර්ධ-විවෘත |
| $(a, b]$ | ${x : a < x \leq b}$ | අර්ධ-විවෘත |
| $(a, \infty)$ | ${x : x > a}$ | අසීමිත |
| $(-\infty, b]$ | ${x : x \leq b}$ | අසීමිත |
$\infty$ හා $-\infty$ තාත්ත්වික සංඛ්‍යා නොවේ. ඒවායින් කියන්නේ "ඉහළ සීමාවක් නැත" හෝ "පහළ සීමාවක් නැත" කියා පමණි; එබැවින් ඒවා ළඟ ඇති වරහන සෑම විට ම වටකුරු ය. $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$.
සංඛ්‍යා රේඛාවේ හිස් වෘත්තයක් යනු අන්ත ලක්ෂ්‍යය බැහැර කළ බවත්, පුරවන ලද වෘත්තයක් යනු එය ඇතුළත් බවත් ය.
තාත්ත්වික රේඛාවේ හිඩැස් නැති නිසා $(0, 1)$ වැනි ප්‍රාන්තරයක අනන්ත සංඛ්‍යා ප්‍රමාණයක් ඇති අතර, එහි කුඩා ම හෝ විශාල ම අවයවයක් නැත. එහෙත් $(0, 1)$ හි නිඛිල එකක්වත් නැත.
ප්‍රාන්තර සංයෝජනය
එක ම සංඛ්‍යා රේඛාවක ප්‍රාන්තර සියල්ල ඇඳ ප්‍රතිඵලය කියවන්න.
උදාහරණය: $A = [-2, 3)$ හා $B = (0, 5]$ යැයි ගනිමු. $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$ සොයන්න. සංඛ්‍යා රේඛාවේ $A$ ඇත්තේ $-2$ (ඇතුළත්) සිට $3$ (බැහැර) දක්වා ය; $B$ ඇත්තේ $0$ (බැහැර) සිට $5$ (ඇතුළත්) දක්වා ය. ඒවා $0$ හා $3$ අතර අතිච්ඡාදනය වේ. $A \cap B = (0, 3)$: $0$ $B$ හි නැත; $3$ $A$ හි නැත. $A \cup B = [-2, 5]$: ප්‍රාන්තර දෙක අතිච්ඡාදනය වන නිසා එකතු වී එකක් වේ. $A \setminus B = [-2, 0]$: මෙහි $0 \in A$ හා $0 \notin B$ නිසා $0$ තබා ගනී. $B \setminus A = [3, 5]$: $3 \notin A$ හා $3 \in B$ නිසා $3$ තබා ගනී.
$A \cap B = \emptyset$ නම් මේලය වෙන් වූ කොටස් දෙකකි; එය $\cup$ මගින් ලියයි: $(-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.
$\mathbb{R}$ තුළ ප්‍රාන්තරයක අනුපූරකය ඉතිරි කොටස යි: $[1, 4)' = (-\infty, 1) \cup [4, \infty)$. අන්ත ලක්ෂ්‍යය පැත්ත මාරු කරයි; එබැවින් වටකුරු වරහන සමචතුරස්‍ර වරහනක් වේ.
අසමානතාවලින් ප්‍රාන්තරවලට
අසමානතාව විසඳා, විසඳුම් කුලකය විස්තර කරන්න. මතක තබා ගන්න: ඍණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ හෝ බෙදීමේ දී අසමානතාව ප්‍රතිවර්තනය වේ.
උදාහරණය: $2x - 1 < 5$ හා $3x + 2 \geq -4$ දෙක ම සපුරාලන තාත්ත්වික $x$ හි කුලකය සොයා ප්‍රාන්තරයක් ලෙස ලියන්න. $2x - 1 < 5 \Rightarrow 2x < 6 \Rightarrow x < 3$. $3x + 2 \geq -4 \Rightarrow 3x \geq -6 \Rightarrow x \geq -2$. "දෙක ම" යනු ඡේදනය යි: $(-\infty, 3) \cap [-2, \infty) = [-2, 3)$. පිළිතුර: $[-2, 3)$, එනම් ${x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 3}$.
Exam tip: I පත්‍රයේ අසමානතා විසඳුම් කුලක හා ශ්‍රිතවල වසම් (වර්ගමූල, හර, ලඝුගණක) සෑම විට ම ප්‍රාන්තර ලෙස ඉල්ලයි. පිළිතුර ප්‍රාන්තර අංකනයෙන් ලියා, එක් එක් අන්ත ලක්ෂ්‍යය වෙන වෙන ම පරීක්ෂා කරන්න: එය ඇතුළත් ද, බැහැර ද? සංඛ්‍යා රේඛාවේ දළ සටහනක් අඳින්නට තත්පර 10 ක් පමණ ගත වන අතර බොහෝ වරහන් වැරදි වළක්වයි.