ඒකකය 19 · ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය
ගණිත අභ්‍යුහනයෙන් සෑම ධන නිඛිලයක් සඳහා ම ප්‍රකාශයක් සාධනය කරන ආකාරය: පාදක පියවර, අභ්‍යුහන උපකල්පනය, අභ්‍යුහන පියවර සහ නිගමනය, විභාගයේ දී බලාපොරොත්තු වන ආකාරයට ලිවීම.
$n = 1, 2, 3, \dots$ යන සෑම ධන නිඛිලයක් සඳහා ම ප්‍රකාශයක් සත්‍ය බව පෙන්විය යුතු යැයි සිතන්න. අනන්ත ගණනක අවස්ථා එකින් එක පරීක්ෂා කළ නොහැකි ය. අවසානයක් නැති ඩොමිනෝ පේළියක් සිතන්න:
සෑම ඩොමිනෝවක් ම වැටේ. ගණිත අභ්‍යුහනය යනු මෙම තර්කය ම ය. "පළමු ඩොමිනෝව වැටීම" පාදක පියවර ය; "සෑම එකක් ම ඊළඟ එක පෙරළීම" අභ්‍යුහන පියවර ය.
අපි ප්‍රතිඵලය $n$ මත රඳා පවතින $P(n)$ ප්‍රකාශයක් ලෙස ලියමු. උදාහරණයක් ලෙස, $$P(n):\quad 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$ $P(1)$ යනු $n = 1$ වන විට ප්‍රකාශය ය; $P(k+1)$ යනු $n$ වෙනුවට $k+1$ ආදේශ කළ ප්‍රකාශය ය. $P(k)$ සහ $P(k+1)$ සෑම විට ම සම්පූර්ණයෙන් ලියන්න; මුළු සාධනය ම එකකින් අනෙකට යාම ය.
සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $P(n)$ ප්‍රකාශයක් යැයි ගනිමු. එවිට
සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $P(n)$ සත්‍ය වේ.
නම් කරන ලද කොටස් හතරක් භාවිත කරන්න. විභාගයේ දී සෑම කොටසකට ම ලකුණු හිමි වේ.
සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ බව සාධනය කරන්න.
පාදක පියවර. $n = 1$ විට: වම්පස $= 1$; දකුණුපස $= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$. එබැවින් $P(1)$ සත්‍ය ය.
උපකල්පනය. යම් $k \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා $P(k)$ සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කරමු; එනම් $$1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}.$$
අභ්‍යුහන පියවර. අපි $P(k+1)$ පෙන්විය යුතු ය: $1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$. උපකල්පනය භාවිතයෙන්, $$1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$ මෙය $P(k+1)$ ය.
නිගමනය. $P(1)$ සත්‍ය ය; $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ ද සත්‍ය ය. එබැවින් ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයෙන් සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $P(n)$ සත්‍ය වේ. $\blacksquare$
උදාහරණය: සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ බව සාධනය කරන්න. පාදක පියවර: $n = 1$ විට වම්පස $1$ ය, දකුණුපස $1^2 = 1$ ය. උපකල්පනය: යම් $k \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා $1 + 3 + \dots + (2k-1) = k^2$ යැයි උපකල්පනය කරමු. පියවර: ඊළඟ පදය $2(k+1) - 1 = 2k+1$ නිසා $1 + 3 + \dots + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$; මෙය $P(k+1)$ ය. නිගමනය: $P(1)$ සත්‍ය ය, $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ ද සත්‍ය ය; එබැවින් අභ්‍යුහනයෙන් සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $P(n)$ සත්‍ය වේ.
උදාහරණය: සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} 2^{r-1} = 2^n - 1$ බව සාධනය කරන්න. පාදක පියවර: $n = 1$ විට වම්පස $2^0 = 1$ ය, දකුණුපස $2^1 - 1 = 1$ ය. උපකල්පනය: $\sum_{r=1}^{k} 2^{r-1} = 2^k - 1$ යැයි උපකල්පනය කරමු. පියවර: $\sum_{r=1}^{k+1} 2^{r-1} = (2^k - 1) + 2^k = 2 \cdot 2^k - 1 = 2^{k+1} - 1$; මෙය $P(k+1)$ ය. නිගමනය: අභ්‍යුහනයෙන් සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.
සමහර ප්‍රතිඵල සත්‍ය වන්නේ යම් නිඛිලයක් $n_0$ සිට පමණි (උදාහරණයක් ලෙස $n \ge 5$). එවිට පාදක පියවරේ දී $P(n_0)$ පරීක්ෂා කරන අතර, උපකල්පනයේ දී $k \ge n_0$ වූ යම් $k$ සඳහා $P(k)$ සත්‍ය යැයි ගනී; නිගමනය "සෑම නිඛිල $n \ge n_0$ සඳහා ම සත්‍ය" ලෙස ලියයි.
එම කොටස් හතර ම ප්‍රතිඵල වර්ග තුනක් සාධනය කිරීමට භාවිත වේ: එකතුවල සූත්‍ර (ඊළඟ පාඩම්), බෙදීම පිළිබඳ ප්‍රතිඵල, සහ අසමානතා හා වෙනත් ප්‍රතිඵල. ඒවායේ වෙනස ඇත්තේ අභ්‍යුහන පියවරේ වීජ ගණිතයේ පමණි.
Exam tip: ලකුණු හිමි වන්නේ ව්‍යුහයට ය; එබැවින් කිසිදු කොටසක් අත් නොහරින්න. "$P(1)$ සත්‍ය ය" යනුවෙන් සැබෑ අගයන් සමඟ ලියන්න, "$n = k$ සඳහා සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කරමු" යනුවෙන් එම ප්‍රකාශය ලියන්න, උපකල්පනය භාවිත කරන පේළිය පෙන්වන්න, ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය නම් කරමින් නිගමනයෙන් අවසන් කරන්න. $n = k+1$ සඳහා සාධනය කිරීමට පෙර "සත්‍ය ය" යැයි නොලියන්න; එය සාධනය කළ යුතු දේ ම උපකල්පනය කිරීමකි.