ඒකකය 19 · ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය
$n$ ඇසුරෙන් වූ ප්‍රකාශනයක් නිශ්චිත නිඛිලයකින් බෙදෙන බව සාධනය කිරීම: උපකල්පනය සමීකරණයක් ලෙස ලියා, $(k+1)$ ප්‍රකාශනය $k$ ප්‍රකාශනය ඇසුරෙන් නැවත ලිවීම.
$A$ නිඛිලයක් $m$ න් බෙදේ (හෝ $A$ යනු $m$ හි ගුණාකාරයකි) යනු යම් නිඛිලයක් $p$ සඳහා $A = m \times p$ වන විට ය. අභ්‍යුහන සාධනයක දී මෙය ආදේශ කළ හැකි සමීකරණයක් බවට පත් කරයි.
සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $f(n)$ යන්න $m$ න් බෙදෙන බව සාධනය කිරීමට:
$a^n$ සඳහා සම්මත උපක්‍රමය: $$a^{k+1} = a \cdot a^k \quad\text{සහ}\quad a^k = mp + 1 ;\Longrightarrow; a^{k+1} = a(mp+1).$$
උදාහරණය: සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $5^n - 1$ යන්න $4$ න් බෙදෙන බව සාධනය කරන්න. පාදක පියවර: $n = 1$ විට $5 - 1 = 4$ ය; එය $4$ න් බෙදේ. උපකල්පනය: යම් නිඛිලයක් $p$ සඳහා $5^k - 1 = 4p$ යැයි උපකල්පනය කරමු; එනම් $5^k = 4p + 1$. පියවර: $5^{k+1} - 1 = 5 \cdot 5^k - 1 = 5(4p + 1) - 1 = 20p + 4 = 4(5p + 1)$; $5p + 1$ නිඛිලයක් නිසා $5^{k+1} - 1$ යන්න $4$ න් බෙදේ. නිගමනය: $n = 1$ සඳහා සත්‍ය ය; $n = k$ සඳහා සත්‍ය නම් $n = k+1$ සඳහා ද සත්‍ය ය; එබැවින් අභ්‍යුහනයෙන් සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $5^n - 1$ යන්න $4$ න් බෙදේ.
උදාහරණය: සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $n^3 + 2n$ යන්න $3$ න් බෙදෙන බව සාධනය කරන්න. පාදක පියවර: $n = 1$ විට $1 + 2 = 3$; එය $3$ න් බෙදේ. උපකල්පනය: යම් නිඛිලයක් $p$ සඳහා $k^3 + 2k = 3p$ යැයි උපකල්පනය කරමු. පියවර: $(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3p + 3(k^2 + k + 1) = 3(p + k^2 + k + 1)$; $p + k^2 + k + 1$ නිඛිලයකි. නිගමනය: අභ්‍යුහනයෙන් සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $n^3 + 2n$ යන්න $3$ න් බෙදේ.
$2^{n+2} + 3^{2n+1}$ වැනි විවිධ බල දෙකක් ඇති විට, උපකල්පනය එක් බලයකට ගැළපෙන සාධකයෙන් ගුණ කර, අනෙක් කොටසෙන් $m$ හි ගුණාකාරයක් ම ලැබෙන්නට සලස්වන්න.
උදාහරණය: සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම $2^{n+2} + 3^{2n+1}$ යන්න $7$ න් බෙදෙන බව සාධනය කරන්න. පාදක පියවර: $n = 1$ විට $2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35 = 7 \times 5$. උපකල්පනය: යම් නිඛිලයක් $p$ සඳහා $2^{k+2} + 3^{2k+1} = 7p$ යැයි උපකල්පනය කරමු. පියවර: $2^{k+3} + 3^{2k+3} = 2 \cdot 2^{k+2} + 9 \cdot 3^{2k+1} = 2\left(2^{k+2} + 3^{2k+1}\right) + 7 \cdot 3^{2k+1} = 14p + 7 \cdot 3^{2k+1} = 7\left(2p + 3^{2k+1}\right)$; $2p + 3^{2k+1}$ නිඛිලයකි. නිගමනය: අභ්‍යුහනයෙන් සෑම $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා ම ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.
මෙහි දී අපි $9 \cdot 3^{2k+1} = 2 \cdot 3^{2k+1} + 7 \cdot 3^{2k+1}$ ලෙස ලිව්වෙමු; එනම් සංගුණකය $9$ ය, පළමු කොටසේ සාධකය $2$ ට ගැළපෙන පරිදි $2$ සහ $7$ ලෙස බෙදා ඇත.
$f(k) = a^k \pm b^k$ (හෝ ඒ හා සමාන) සඳහා, $f(k)$ හි ගුණකය $a$ හෝ $b$ ලෙස තෝරන්න: $$a^{k+1} - b^{k+1} = a\left(a^k - b^k\right) + b^k(a - b),$$ එබැවින් $a - b$ යන්න $m$ න් බෙදේ නම්, දෙවන කොටස ද $m$ හි ගුණාකාරයක් වේ. ඔබේ අවසාන පේළිය පුළුල් කර සෑම විට ම පරීක්ෂා කරන්න.
Exam tip: උපකල්පනය සමීකරණයක් ලෙස ලියන්න ("$7^k - 1 = 6p$, මෙහි $p \in \mathbb{Z}$"); අවසාන පේළියේ "$= 6 \times (\ldots)$" ලෙස ලියන්න, වරහන තුළ ඇත්තේ නිඛිලයක් බව පැහැදිලි විය යුතු ය; පසුව "$6$ න් බෙදේ" යැයි ලියන්න. සාධකයක් නොපෙන්වා "එය $6$ න් බෙදේ" යැයි පමණක් ලියන පිළිතුරකට නිරවද්‍යතා ලකුණ අහිමි වේ. ප්‍රශ්නයේ $n \ge 0$ හෝ $n \ge 2$ යැයි ඇත්නම් පාදක පියවර පළමු අගයට ගැළපෙන සේ වෙනස් කරන්න.