සර්වසමතා හා සංගුණක සංසන්දනය

සර්වසමතාවක් හා සමීකරණයක් අතර වෙනස සහ නොදන්නා නියත සෙවීමේ ක්‍රම දෙක (සංගුණක සංසන්දනය සහ අගයන් ආදේශය).

සර්වසමතාවක් ද සමීකරණයක් ද?

මේ ප්‍රකාශ දෙක සසඳන්න.

$x^2 - 1 = 3$ යනු සමීකරණයකි. එය සත්‍ය වන්නේ $x = \pm 2$ සඳහා පමණි.
$x^2 - 1 \equiv (x-1)(x+1)$ යනු සර්වසමතාවකි (identity). එය සෑම තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් $x$ සඳහා ම සත්‍ය වේ.

සර්වසමතාවක් සඳහා $\equiv$ සංකේතය භාවිත කරමු (බොහෝ පොත්වල $=$ ද යොදයි). සර්වසමතාවක් යනු බහුපද ගැන ම ප්‍රකාශයකි: දෙපස ම එකම බහුපදය වෙනස් ආකාරවලින් ලියා ඇත.

ප්‍රධාන කරුණ

බහුපද දෙකක් සර්වසම වන්නේ $x$ හි සෑම බලයක ම සංගුණක සමාන නම් සහ එවිට පමණි.

හේතුව: සෑම $x$ සඳහා ම $ax^2 + bx + c \equiv 0$ නම්, $x = 0$ ආදේශයෙන් $c = 0$. එවිට $ax^2 + bx = x(ax + b) \equiv 0$ නිසා $x \ne 0$ සඳහා $ax + b = 0$, ඒ නිසා සෑම $x$ සඳහා ම $ax + b \equiv 0$; එයින් $b = 0$, $a = 0$. එබැවින් ශුන්‍ය නොවන බහුපදයක් සෑම $x$ සඳහා ම ශුන්‍ය විය නොහැකි ය. විශේෂයෙන්, $n$ මාත්‍රයේ බහුපදයකට උපරිමයෙන් මූල $n$ ක් ඇත.

නොදන්නා නියත සෙවීමේ ක්‍රම දෙක

$A, B, \dots$ නොදන්නා නියත යැයි ද සෑම $x$ සඳහා ම සර්වසමතාව සත්‍ය විය යුතු යැයි ද සිතමු.

ක්‍රමය 1: සංගුණක සංසන්දනය. දෙපස ප්‍රසාරණය කර $x^n, \dots, x, 1$ හි සංගුණක සමාන කරන්න.

ක්‍රමය 2: අගයන් ආදේශය. සර්වසමතාව සෑම $x$ සඳහා ම සත්‍ය නිසා ඔබට කැමති ඕනෑම $x$ අගයක් ගත හැකි ය. වරහන් ශුන්‍ය වන අගයන් තෝරන්න; එවිට බොහෝ නොදන්නා නැති වී යයි.

උදාහරණය: $4x - 1 \equiv A(x-1) + B(x+2)$ නම් $A$ සහ $B$ සොයන්න. ආදේශයෙන්. $x = 1$: $3 = 3B$, එබැවින් $B = 1$. $x = -2$: $-9 = -3A$, එබැවින් $A = 3$. සංගුණක සංසන්දනයෙන් පරීක්ෂාව. $x$: $A + B = 4$ ✓ ($3 + 1$). නියතය: $-A + 2B = -1$ ✓ ($-3 + 2$).

උදාහරණය: $x^3 + 2x^2 - x + 3 \equiv (x^2 + 1)(x + a) + bx + c$ වන පරිදි $a, b, c$ සොයන්න. දකුණු පස ප්‍රසාරණය: $(x^2+1)(x+a) + bx + c = x^3 + ax^2 + x + a + bx + c = x^3 + ax^2 + (1 + b)x + (a + c)$. $x^2$ සංසන්දනය: $a = 2$. $x$ සංසන්දනය: $1 + b = -1$, එබැවින් $b = -2$. නියත පද: $a + c = 3$, එබැවින් $c = 1$.

දකුණු පසෙහි සාධක තිබේ නම් ආදේශය භාවිත කරන්න (මූල නිසා පද නැති වේ); දකුණු පස බලවල එකතුවක් නම් හෝ සාධක වෙන් නොවන වර්ගජයක් තිබේ නම් සංගුණක සංසන්දනය භාවිත කරන්න. බොහෝ විට මිශ්‍ර ක්‍රමය වඩාත් වේගවත් ය.

නව ආකාරයකට නැවත ලිවීම

බොහෝ ප්‍රශ්නවල බහුපදයක් වෙනත් ආකාරයකට ලියන්නැයි ඉල්ලයි. මේවා ද සර්වසමතා වේ.

වර්ග සම්පූර්ණ කිරීම: $x^2 + 4x + 7 \equiv (x + a)^2 + b$. ප්‍රසාරණය: $x^2 + 2ax + a^2 + b$. එබැවින් $2a = 4$, $a = 2$, සහ $a^2 + b = 7$ නිසා $b = 3$.
$(x - a)$ හි බල: $2x^2 - 3x + 5 \equiv A(x-1)^2 + B(x-1) + C$ ලෙස ලිවීමට $t = x - 1$ ගන්න; $x = t + 1$: $2(t+1)^2 - 3(t+1) + 5 = 2t^2 + 4t + 2 - 3t - 3 + 5 = 2t^2 + t + 4$. එබැවින් $A = 2$, $B = 1$, $C = 4$.
සර්වසමතාවක් ඔප්පු කිරීම: එක් පැත්තක් (හෝ දෙපැත්ත) ප්‍රසාරණය කර ඒවා එකම බහුපදය බව පෙන්වන්න.

Exam tip: A/L ප්‍රශ්න පත්‍රවල සර්වසමතාව සාමාන්‍යයෙන් වෙනත් දෙයකට පෙරවදනක් ලෙස එයි: "$A, B, C$ සොයන්න ... ඒ අනුව ... භින්න භාගවලින් ප්‍රකාශ කරන්න/අගයන්න". පසුව එන කොටස් එය මත රඳා පවතින නිසා එය මඟ හරින්න එපා. ප්‍රශ්නයේ "සියලු තාත්ත්වික $x$ සඳහා" යැයි තිබේ නම් එය සර්වසමතාවකි; ඔබට ඕනෑම අගයක් ආදේශ කළ හැකි ය. යොදා නොගත් තවත් එක් $x$ අගයකින් සෑම විට ම පරීක්ෂා කරන්න.