සමූහිත දත්ත: මධ්‍යන්‍යය, මධ්‍යස්ථය, මාතය සහ කේතගත මධ්‍යන්‍යය
පන්ති ප්‍රාන්තර, පන්ති මායිම් සහ මධ්‍ය අගයන් භාවිතයෙන් සමූහිත දත්තවල මධ්‍යන්‍යය (සෘජුව සහ කේතනයෙන්), මධ්‍යස්ථය සහ මාතය ඇස්තමේන්තු කිරීම සහ ආයත ප්‍රස්තාරයකින් මාතය කියවීම.
දත්ත සමූහ කරන්නේ ඇයි?
සිසුන් $50$ දෙනෙකුගේ $100$ න් ලකුණු වැනි විවිධ අගයන් බොහෝ ඇති විට, තනි අගයන්ගේ වගුව දිගු වේ. එබැවින් අගයන් පන්ති ප්‍රාන්තරවලට සමූහ කර සෑම පන්තියකට ම අයත් වන ගණන සටහන් කරමු. ඒ සඳහා ගෙවන්නට සිදු වන්නේ විස්තර අහිමි වීමයි: සමූහිත වගුවකින් මධ්‍යන්‍යය, මධ්‍යස්ථය සහ මාතය ඇස්තමේන්තු කළ හැක්කේ පමණි.
පන්ති මායිම්, පළල සහ මධ්‍ය අගය
සන්තතික දත්ත සඳහා පන්ති එකිනෙක හමු වේ; උදාහරණයක් ලෙස $0 - 10, 10 - 20, \dots$ හි මායිම් $0, 10, 20, \dots$ වේ. පූර්ණ සංඛ්‍යා දත්ත සඳහා පන්ති $11 - 20, 21 - 30$ ලෙස ලියයි; පන්ති මායිම් අසල්වැසි පන්ති දෙකේ මැදින් පිහිටන බැවින් $11 - 20$ යනු සැබවින් ම $10.5$ සිට $20.5$ දක්වා වේ.
- පන්ති පළල $c = $ ඉහළ මායිම $-$ පහළ මායිම (මෙහි $10$);
- මධ්‍ය අගය $m = \dfrac{\text{පහළ මායිම} + \text{ඉහළ මායිම}}{2}$ (මෙහි $15.5$).
සමූහිත දත්තවල මධ්‍යන්‍යය
පන්තියක සෑම අගයක් ම එහි මධ්‍ය අගය $m$ ලෙස සලකා $$\bar{x} = \frac{\sum fm}{\sum f}$$ ලැබේ.
කේතනය. මධ්‍ය අගයන් විශාල වූ විට ගණනය කිරීම් අපහසු වේ. මැද ආසන්න පහසු මධ්‍ය අගයක් උපකල්පිත මධ්‍යන්‍යය $A$ ලෙස තෝරා, $$y = \frac{m - A}{c}, \qquad \bar{y} = \frac{\sum fy}{\sum f}, \qquad \bar{x} = A + c,\bar{y}$$ ලෙස ගන්න. පළල සමාන පන්ති සඳහා $y$ අගයන් $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ ආදී කුඩා පූර්ණ සංඛ්‍යා වේ.
පහත උදාහරණවල භාවිත වන සිසුන් $50$ දෙනෙකුගේ ලකුණු:
| පන්තිය | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f$ | 4 | 10 | 16 | 12 | 8 |
Example: වගුවේ මධ්‍යන්‍ය ලකුණු ඇස්තමේන්තු කරන්න. මධ්‍ය අගයන් $5, 15, 25, 35, 45$ බැවින් $\sum fm = 20 + 150 + 400 + 420 + 360 = 1350$ සහ $\bar{x} = \dfrac{1350}{50} = 27$. $A = 25$, $c = 10$ ලෙස කේතනයෙන්: $y = -2, -1, 0, 1, 2$, $\sum fy = -8 - 10 + 0 + 12 + 16 = 10$, $\bar{y} = \dfrac{10}{50} = 0.2$, $\bar{x} = 25 + 10 \times 0.2 = 27$. ක්‍රම දෙකෙන් ම එකම පිළිතුර ලැබේ.
සමූහිත දත්තවල මධ්‍යස්ථය
මධ්‍යස්ථය $\dfrac{n}{2}$ වන අගයයි. සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය $\dfrac{n}{2}$ ට සමාන හෝ ඊට වැඩි වන පළමු පන්තිය වන මධ්‍යස්ථ පන්තිය සොයා, එහි අගයන් ඒකාකාරව විසිරී ඇතැයි සලකන්න: $$\text{මධ්‍යස්ථය} = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f},c,$$ මෙහි $L$ මධ්‍යස්ථ පන්තියේ පහළ මායිම ය, $F$ එයට පෙර සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය ය, $f$ එහි සංඛ්‍යාතය ය, $c$ එහි පළල ය.
සමූහිත දත්තවල මාතය
(පළල සමාන විට) වැඩිම සංඛ්‍යාතය ඇති පන්තිය මාත පන්තියයි. එවිට $$\text{මාතය} = L + \frac{d_1}{d_1 + d_2},c,$$ මෙහි $L$ එහි පහළ මායිම ය, $d_1 = f - f_{\text{පෙර}}$, $d_2 = f - f_{\text{පසු}}$. මාතය වැඩි සංඛ්‍යාතයක් ඇති අසල්වැසි පන්තිය දෙසට නැඹුරු වේ. ආයත ප්‍රස්තාරයක දී මාත තීරුවේ ඉහළ කොන් අසල්වැසි තීරුවල ඉහළ කොන් සමඟ යා කිරීමෙන් ලැබෙන ලක්ෂ්‍යයෙන් එය ලැබේ.
Example: ඉහත ලකුණුවල මධ්‍යස්ථය සහ මාතය සොයන්න. $n = 50$ බැවින් $\dfrac{n}{2} = 25$. සමුච්චිත සංඛ්‍යාත $4, 14, 30, 42, 50$ නිසා මධ්‍යස්ථ පන්තිය $20 - 30$ වන අතර $L = 20$, $F = 14$, $f = 16$, $c = 10$: මධ්‍යස්ථය $= 20 + \dfrac{25 - 14}{16} \times 10 = 26.875$. මාත පන්තිය ද $20 - 30$ ($f = 16$) වන අතර $d_1 = 16 - 10 = 6$, $d_2 = 16 - 12 = 4$: මාතය $= 20 + \dfrac{6}{6 + 4} \times 10 = 26$.
Example: පුද්ගලයන් $50$ දෙනෙකුගේ බර (kg) $40 - 49$, $50 - 59$, $60 - 69$, $70 - 79$, $80 - 89$ ලෙස සංඛ්‍යාත $5, 12, 20, 10, 3$ සමඟ සටහන් කර ඇත. මධ්‍යන්‍යය, මධ්‍යස්ථය සහ මාතය ඇස්තමේන්තු කරන්න. මායිම් $39.5, 49.5, \dots, 89.5$ ද මධ්‍ය අගයන් $44.5, 54.5, 64.5, 74.5, 84.5$ ද $c = 10$ ද වේ. $\sum fm = 222.5 + 654 + 1290 + 745 + 253.5 = 3165$, එබැවින් $\bar{x} = \dfrac{3165}{50} = 63.3$. සමුච්චිත සංඛ්‍යාත $5, 17, 37, 47, 50$ නිසා මධ්‍යස්ථය $59.5 - 69.5$ පන්තියේ ය: මධ්‍යස්ථය $= 59.5 + \dfrac{25 - 17}{20} \times 10 = 63.5$. මාතය: $d_1 = 20 - 12 = 8$, $d_2 = 20 - 10 = 10$ බැවින් මාතය $= 59.5 + \dfrac{8}{18} \times 10 \approx 63.94$.
Exam tip: සමූහිත දත්ත ප්‍රශ්නවල ලකුණු ලැබෙන්නේ ක්‍රමයට ය. $m$ (හෝ $y$), $fm$ (හෝ $fy$) සහ සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය සෑම විට ම වගුවක ලියන්න; සූත්‍රය භාවිත කිරීමට පෙර මධ්‍යස්ථ හෝ මාත පන්තිය සඳහන් කරන්න. $40 - 49$ වැනි පූර්ණ සංඛ්‍යා පන්ති සඳහා මධ්‍යස්ථ සහ මාත සූත්‍රවල $40$, $49$ නොව $39.5$, $49.5$ මායිම් භාවිත කරන්න. ඔබේ පිළිතුර තෝරාගත් පන්තිය තුළ පිහිටන්නේ දැයි පරීක්ෂා කරන්න.