මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර හා පරිවර්තන
සම්මත ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර ඇඳීම සහ ඒවා විස්ථාපනය, ඇදීම හා පරාවර්තනය කර නව ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරය ලබා ගැනීම; වර්ගජ හා මාපාංක ප්‍රස්තාර ද ඇතුළුව.
සම්මත ප්‍රස්තාර
මෙම හැඩ හොඳින් ඉගෙන ගන්න; විභාගයේ සෑම දළ සටහනක් ම ආරම්භ වන්නේ ඒවායින් එකකිනි.
| ශ්‍රිතය | වසම | පරාසය | හැඩය |
|---|---|---|---|
| $y = x$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $O$ හරහා යන, අනුක්‍රමණය $1$ වන සරල රේඛාව |
| $y = x^2$ | $\mathbb{R}$ | $[0, \infty)$ | $U$ හැඩැති පරාවලය, ශීර්ෂය $O$ හි, ඉරට්ටේ ශ්‍රිතය |
| $y = x^3$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $S$ හැඩැති, $O$ හි පැතලි, ඔත්තේ ශ්‍රිතය |
| $y = \sqrt{x}$ | $[0, \infty)$ | $[0, \infty)$ | පැත්තකට හැරුණු පරාවලයක අර්ධයක් |
| $y = \dfrac{1}{x}$ | $x \ne 0$ | $y \ne 0$ | ශාඛා දෙකක්; අක්ෂ දෙක ස්පර්ශෝන්මුඛ වේ |
| $y = \lvert x \rvert$ | $\mathbb{R}$ | $[0, \infty)$ | $V$ හැඩය, ශීර්ෂය $O$ හි |
$y = f(x)$ හි පරිවර්තන
$y = f(x)$ ප්‍රස්තාරයෙන් ආරම්භ කළ විට, නීතියේ සෑම වෙනසක් ම ප්‍රස්තාරය නියත ආකාරයකින් චලනය කරයි.
| නව ප්‍රස්තාරය | $f$ හි ප්‍රස්තාරයට ඇතිවන බලපෑම |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | $a$ ඉහළට ගෙන යාම ($a < 0$ නම් පහළට) |
| $y = f(x - a)$ | $a$ දකුණට ගෙන යාම ($a < 0$ නම් වමට) |
| $y = -f(x)$ | $x$-අක්ෂයේ පරාවර්තනය |
| $y = f(-x)$ | $y$-අක්ෂයේ පරාවර්තනය |
| $y = a f(x),\ a > 0$ | $y$-අක්ෂයට සමාන්තරව $a$ සාධකයකින් ඇදීම |
| $y = f(ax),\ a > 0$ | $x$-අක්ෂයට සමාන්තරව $\dfrac{1}{a}$ සාධකයකින් ඇදීම |
වරහන් ඇතුළත වෙනසක ලකුණ ඔබ බලාපොරොත්තු වන දෙයට විරුද්ධ ලෙස ක්‍රියා කරයි: $f(x - 2)$ ප්‍රස්තාරය දකුණට ගෙන යයි. එක් ලක්ෂ්‍යයක් අනුගමනය කිරීම ප්‍රයෝජනවත් ය. $y = f(x)$ මත $(p, q)$ ලක්ෂ්‍යයක් $y = A f(b(x - h)) + k$ මත $\bigl(h + \tfrac{p}{b},; A q + k\bigr)$ බවට පත් වේ. එනම් වරහන් ඇතුළත වෙනස්කම් $x$ ට ද, පිටත වෙනස්කම් $y$ ට ද බලපායි.
Example: $y = x^2$ සිට $y = -2(x + 1)^2 + 3$ ප්‍රස්තාරය ලබා ගන්නා හැටි විස්තර කර, ශීර්ෂය හා සමමිති අක්ෂය දක්වන්න.
පියවර මෙම පිළිවෙළට යොදන්න: (1) $1$ වමට ගෙන යන්න: $y = (x+1)^2$; (2) $y$-අක්ෂයට සමාන්තරව $2$ සාධකයකින් අදින්න: $y = 2(x+1)^2$; (3) $x$-අක්ෂයේ පරාවර්තනය කරන්න: $y = -2(x+1)^2$; (4) $3$ ඉහළට ගෙන යන්න.
පිළිතුර: ශීර්ෂය $(0,0)$ සිට $(-1, 3)$ ට ගමන් කරයි; සමමිති අක්ෂය $x = -1$. පරාවලය පහළට විවෘත වන බැවින් $(-1, 3)$ උපරිම ලක්ෂ්‍යයයි.
Example: $y = f(x)$ ප්‍රස්තාරය $(0, 0)$, $(2, 3)$ හා $(4, 1)$ හරහා යයි. $y = 2f(x - 1) + 1$ මත මෙම ලක්ෂ්‍යවල ප්‍රතිබිම්බ සොයන්න.
ඇතුළත $x - 1$ යනු සෑම ලක්ෂ්‍යයක් ම දකුණට $1$ ක් ගමන් කරන බවයි: $x \to x + 1$. පිටත $2f$ හා $+1$ යනු $y \to 2y + 1$ බවයි.
$(0, 0) \to (1, 1)$; $(2, 3) \to (3, 7)$; $(4, 1) \to (5, 3)$.
පිළිතුර: $(1, 1)$, $(3, 7)$, $(5, 3)$.
වර්ගජ ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර
සෑම වර්ගජ ශ්‍රිතයක් ම වර්ගය සම්පූර්ණ කිරීමෙන් $y = a(x - h)^2 + k$ ලෙස ලිවිය හැකි ය. ප්‍රස්තාරය යනු $y = x^2$ ප්‍රස්තාරය $|a|$ සාධකයකින් ඇද, $a < 0$ නම් පරාවර්තනය කර, ශීර්ෂය $(h, k)$ හි පිහිටන සේ ගෙන යාමෙන් ලැබෙන්නකි. සමමිති අක්ෂය $x = h$ වේ. $a > 0$ නම් ශීර්ෂය අවම ලක්ෂ්‍යය වන අතර $a < 0$ නම් උපරිම ලක්ෂ්‍යය වේ. $y$-අන්තඃඛණ්ඩය $ah^2 + k$ වන අතර මූල (ඇත්නම්) $x$-අන්තඃඛණ්ඩ වේ.
මාපාංක ප්‍රස්තාර
- $y = |f(x)|$: ප්‍රස්තාරයේ $x$-අක්ෂය මත හෝ ඉහළ කොටස් තබා ගන්න, $x$-අක්ෂයට පහළ කොටස් ඉහළට පරාවර්තනය කරන්න. ප්‍රස්තාරය කිසි විටෙක $x$-අක්ෂයට පහළට නොයයි.
- $y = f(|x|)$: දකුණු අර්ධය ($x \ge 0$) තබා ගෙන එය $y$-අක්ෂයේ පරාවර්තනය කර වම් අර්ධය සාදන්න. ප්‍රතිඵලය $y$-අක්ෂය වටා සමමිතික වේ.
Example: $y = |x^2 - 4|$ දළ සටහන් කර $|x^2 - 4| = 3$ විසඳන්න.
$y = x^2 - 4$ ප්‍රස්තාරයේ $x$-අන්තඃඛණ්ඩ $\pm 2$ ද $y$-අන්තඃඛණ්ඩය $-4$ ද වේ. $x = -2$ හා $x = 2$ අතර කොටස අක්ෂයට පහළ ය; එය පරාවර්තනය කළ විට $x = 0$ හි උපරිමය $4$ වන කඳු මුදුනක් වැනි හැඩයක් ලැබේ. $y = 3$ රේඛාව දළ සටහන ලක්ෂ්‍ය හතරක දී කපයි.
වීජීයව, $x^2 - 4 = 3$ න් $x^2 = 7$ ද, $x^2 - 4 = -3$ න් $x^2 = 1$ ද ලැබේ.
පිළිතුර: $x = \pm \sqrt{7}$ හෝ $x = \pm 1$: විසඳුම් හතරක්, දළ සටහනට ගැළපේ.
Exam tip: දළ සටහන් ප්‍රශ්නවල අන්තඃඛණ්ඩ, ශීර්ෂය හෝ හැරුම් ලක්ෂ්‍ය හා ස්පර්ශෝන්මුඛ සලකුණු කර අක්ෂ නම් කරන්න. මෙම ලක්ෂණ සහිත වේගවත් පිරිසිදු දළ සටහනකට ලකුණු ලැබේ; ලක්ෂ්‍ය රාශියක් සටහන් කිරීමෙන් ලකුණු නොලැබේ. පරිවර්තනයක් ඉල්ලූ විට සූත්‍රය ගොඩනැගෙන පිළිවෙළට පියවර යොදා, ඔබ නිවැරදි බව ඔප්පු කිරීමට ප්‍රධාන ලක්ෂ්‍ය එකක් දෙකක ප්‍රතිබිම්බ ලියන්න.