$\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac1x$, $\dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ සහ $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ හි ව්‍යුත්පන්න, දාම නීතිය සහ ලඝුගණක අවකලනය සමග භාවිත කිරීම.
$a > 0$ සඳහා $a^x$ සලකන්න. ප්‍රමූලධර්ම මගින් එහි ව්‍යුත්පන්නය $a^x\cdot\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{a^h - 1}{h}$ වේ; එබැවින් ව්‍යුත්පන්නය $a^x$ ම නියතයකින් ගුණ කළ එකකි. මෙම නියතය නිවැරදිව $1$ වන පාදය (අපරිමේය) $e \approx 2.71828$ සංඛ්‍යාවයි: $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$ $f(x) = e^x$ ඝාතීය ශ්‍රිතයේ වසම $\mathbb{R}$ ද පරාසය $(0, \infty)$ ද වන අතර, එහි ව්‍යුත්පන්නය එය ම ය: සෑම ලක්ෂ්‍යයක ම අනුක්‍රමණය එහි උසට සමාන වේ. දාම නීතියෙන්, $$\frac{d}{dx}\big(e^{g(x)}\big) = g'(x),e^{g(x)}.$$
උදාහරණය: $y = e^{x^2}\sin x$ අවකලනය කරන්න. ගුණන නීතිය: $u = e^{x^2}$, දාම නීතියෙන් $u' = 2xe^{x^2}$; $v = \sin x$, $v' = \cos x$. එබැවින් $\dfrac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}\sin x + e^{x^2}\cos x = e^{x^2}(2x\sin x + \cos x)$.
උදාහරණය: $y = e^{-3x}$ හි $x = 0$ දී අනුක්‍රමණය සොයන්න. $\dfrac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$; $x = 0$ දී එය $-3$ වේ. වක්‍රය $(0, 1)$ හරහා යන බැවින් එහි ස්පර්ශකය $y = 1 - 3x$ වේ.
ප්‍රකෘති ලඝුගණකය $\ln x = \log_e x$ ($x > 0$) යනු $e^x$ හි ප්‍රතිලෝමයයි: $y = \ln x \iff x = e^y$. ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත නීතියෙන් $\dfrac{dx}{dy} = e^y = x$; එබැවින් $$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\quad (x > 0), \qquad \frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}.$$ ($\dfrac{d}{dx}\ln(-x) = \dfrac{1}{x}$ ද වන නිසා $x \ne 0$ සඳහා $\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac1x$ වේ.)
$a > 0$ වන ඕනෑම ධන පාදයක් සඳහා $a^x = e^{x\ln a}$ ලෙස ලියන්න; දාම නීතියෙන් $$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x\ln a.$$
උදාහරණය: $y = \ln(x^2 + 1)$ අවකලනය කරන්න. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
උදාහරණය: $y = 5^{2x}$ අවකලනය කරන්න. $y = 5^{2x}$ නිසා $\dfrac{dy}{dx} = 5^{2x}\ln 5\cdot 2 = 2\ln 5\cdot 5^{2x}$.
ගුණිත, ලබ්ධි සහ ඝාතයේ $x$ ඇති බල මුලින් $\ln$ ගැනීමෙන් එකතු බවට පත් වේ. දෙපස $\ln$ ගෙන, $x$ ට සාපේක්ෂව අවකලනය කර (වම් පස දාම නීතියෙන් $\dfrac1y\dfrac{dy}{dx}$ ලැබේ), $y$ න් ගුණ කරන්න.
උදාහරණය: $y = x^x$ ($x > 0$) අවකලනය කරන්න. $\ln y = x\ln x$. අවකලනය කරන්න: $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} = \ln x + x\cdot\dfrac1x = \ln x + 1$. එබැවින් $\dfrac{dy}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.
$-1 < x < 1$ සඳහා $y = \sin^{-1}x$ ගන්න; $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$ (ප්‍රධාන අගය). එවිට $x = \sin y$, $\dfrac{dx}{dy} = \cos y$; මෙම ප්‍රාන්තරයේ $\cos y > 0$ නිසා $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. එබැවින් $$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$ එලෙස ම $y = \tan^{-1}x$ සඳහා: $x = \tan y$, $\dfrac{dx}{dy} = \sec^2 y = 1 + x^2$; එබැවින් $\dfrac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. $\cos^{-1}x$ සඳහා $\cos^{-1}x = \dfrac{\pi}{2} - \sin^{-1}x$ යොදන්න:
| ශ්‍රිතය | ව්‍යුත්පන්නය |
|---|---|
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\cos^{-1}x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
උදාහරණය: $y = \tan^{-1}(2x)$ අවකලනය කරන්න. දාම නීතියෙන් $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (2x)^2}\cdot 2 = \dfrac{2}{1+4x^2}$.
උදාහරණය: $-1 < x < 1$ සඳහා $y = \sin^{-1}(x^2)$ අවකලනය කරන්න. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^4}}\cdot 2x = \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
Exam tip: A/L I පත්‍රයේ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ව්‍යුත්පන්න නිතර යොදා ගන්නේ පිළිතුර සුළු කළ ආකාරයෙන් ලබාගැනීමට ය; "$\dfrac{dy}{dx} = \dots$ බව පෙන්වන්න" යන ආකාරයෙන් ද ඇසේ. වසම මතක තබාගන්න: $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ පවතින්නේ $|x| < 1$ සඳහා පමණි. $\ln$ ට ඇතුළත ප්‍රකාශනය ධන විය යුතු බැවින් $\dfrac{d}{dx}\ln(x - 3)$ සඳහා $x > 3$ අවශ්‍ය වේ. බොහෝ සාධක ඇති ගුණිතයක් හෝ $x^{\sin x}$ වැනි බලයක් දුටු විට ලඝුගණක අවකලනය යොදන්න.