ඉරට්ටේ හා ඔත්තේ ශ්‍රිත සහ ඛණ්ඩිත ශ්‍රිත
f(−x) මගින් සමමිතිය පරීක්ෂා කිරීම සහ ප්‍රාන්තර අනුව වෙනස් නීති ඇති ශ්‍රිත, මාපාංක ශ්‍රිතය ඇතුළුව, අර්ථ දැක්වීම, අගය සෙවීම හා ප්‍රස්තාර ඇඳීම.
ඉරට්ටේ ශ්‍රිත (Even functions)
$f$ ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ වන්නේ $$f(-x) = f(x) \quad \text{වසමේ සෑම } x \text{ සඳහා ම.}$$ $x$ වෙනුවට $-x$ ආදේශ කිරීමෙන් කිසිවක් නොවෙනස් වන බැවින් ප්‍රස්තාරය $y$-අක්ෂයේ තමාගේ ම දර්පණ ප්‍රතිබිම්බයකි. උදා: $x^2$, $x^4 - 3x^2 + 2$, $|x|$, $\dfrac{1}{x^2 + 1}$. $x$ හි ඉරට්ටේ බල පමණක් ඇති බහුපදයක් (නියතයක් ද ඇතුළත්) ඉරට්ටේ වේ.
ඔත්තේ ශ්‍රිත (Odd functions)
$f$ ශ්‍රිතයක් ඔත්තේ වන්නේ $$f(-x) = -f(x) \quad \text{වසමේ සෑම } x \text{ සඳහා ම.}$$ ප්‍රස්තාරය මූල ලක්ෂ්‍යය වටා අර්ධ භ්‍රමණයකින් නොවෙනස් වේ. උදා: $x$, $x^3$, $x^3 + x$, $\dfrac{1}{x}$. $x$ හි ඔත්තේ බල පමණක් ඇති බහුපදයක් ඔත්තේ වේ. ඔත්තේ ශ්‍රිතයක වසමේ $0$ ඇත්නම් $f(0) = -f(0)$, එබැවින් $f(0) = 0$.
ශ්‍රිතයක් පරීක්ෂා කිරීම
- වසම $0$ වටා සමමිතික දැයි පරීක්ෂා කරන්න ($x$ අවසර නම් $-x$ ද අවසර විය යුතු ය).
- $f(-x)$ සොයා සුළු කරන්න.
- සංසන්දනය කරන්න: $f(x)$ ට සමාන නම් ඉරට්ටේ; $-f(x)$ ට සමාන නම් ඔත්තේ; නැතිනම් දෙකෙන් එකක්වත් නොවේ. "දෙකෙන් එකක්වත් නොවේ" යැයි සාධනය කිරීමට දෙකම අසාර්ථක වන එක් $x$ අගයක් දෙන්න.
Example: (a) $f(x) = x^3 - x$, (b) $g(x) = x^2 + |x|$, (c) $h(x) = x^2 + x$ වර්ග කරන්න.
(a) $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$: ඔත්තේ.
(b) $g(-x) = (-x)^2 + |-x| = x^2 + |x| = g(x)$: ඉරට්ටේ.
(c) $h(1) = 2$ හා $h(-1) = 1 - 1 = 0$. $h(-1) \ne h(1)$ හා $h(-1) \ne -h(1)$ බැවින්: දෙකෙන් එකක්වත් නොවේ.
පිළිතුර: (a) ඔත්තේ; (b) ඉරට්ටේ; (c) දෙකෙන් එකක්වත් නොවේ.
වසම $0$ වටා සමමිතික වන ඕනෑම ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ හා ඔත්තේ ශ්‍රිතවල එකතුවකි: $f(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} + \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$. $x^2 + x$ සඳහා මෙම කොටස් $x^2$ (ඉරට්ටේ) හා $x$ (ඔත්තේ) වේ. $x \ge 0$ සඳහා පමණක් දන්නා ශ්‍රිතයක ඉතිරි ප්‍රස්තාරය තීරණය කරන්නේ එය ඉරට්ටේද ඔත්තේද යන්නෙනි.
ඛණ්ඩිත ශ්‍රිත (Piecewise functions)
ඛණ්ඩිත ශ්‍රිතයක් (කොටස් වශයෙන් අර්ථ දක්වන ශ්‍රිතය ලෙස ද හඳුන්වයි) තම වසමේ විවිධ කොටස්වල විවිධ නීති භාවිත කරයි; උදාහරණයක් ලෙස $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \ x^2, & 0 \le x < 2 \ 6 - x, & x \ge 2. \end{cases}$$ $f(a)$ සෙවීමට $a$ සපුරන කොන්දේසිය තීරණය කර ඒ නීතිය පමණක් භාවිත කරන්න. මෙහි $f(-3) = -3 + 1 = -2$, $f(1) = 1$, සහ $2 \ge 2$ තුන්වන කොටසට අයත් බැවින් $f(2) = 6 - 2 = 4$. ප්‍රස්තාරය කොටස් වශයෙන් අඳිනු ලබන අතර කෙළවර ලක්ෂ්‍යයක් ඇතුළත් නොවේ නම් හිස් වෘත්තයකින් ද, ඇතුළත් නම් පිරවූ තිතකින් ද දක්වයි. $x = c$ හි දෙපැත්තේ නීති දෙක ම එහි දී එක ම අගය දෙන විට ප්‍රස්තාරය එහි දී සන්තතික වේ (බිඳීමක් නැත). $x = 2$ හි දී නීති දෙක ම $4$ දෙන බැවින් බිඳීමක් නැත. $x = 0$ හි දී පළමු නීතිය $1$ ට ළං වන අතර දෙවැන්න $0$ දෙන බැවින් පැනීමක් ඇත.
මාපාංක ශ්‍රිතය (Modulus function)
$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \ -x, & x < 0. \end{cases}$$ එහි අගය $0$ සිට $x$ ට ඇති දුර වන බැවින් එය කිසි විටෙක ඍණ නොවේ. සාමාන්‍යයෙන්, $g(x) \ge 0$ විට $|g(x)| = g(x)$ වන අතර $g(x) < 0$ විට $-g(x)$ වේ. මාපාංක කිහිපයක් ඇති ප්‍රකාශනයක් ඒවා නොමැතිව ලිවීමට, සෑම මාපාංකයක ඇතුළත බින්දුව වන ලක්ෂ්‍යවල දී සංඛ්‍යා රේඛාව බෙදා, සෑම ප්‍රාන්තරයක ම ලකුණු තීරණය කරන්න.
Example: $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$ මාපාංක රහිතව ලියා එහි පරාසය සොයන්න.
ඇතුළත අගයන් බින්දුව වන්නේ $x = 1$ හා $x = -2$ හි වන අතර එයින් ප්‍රාන්තර තුනක් ලැබේ.
- $x < -2$: ඇතුළත දෙක ම ඍණ, $f = -(x - 1) - (x + 2) = -2x - 1$.
- $-2 \le x < 1$: $x - 1 < 0$ හා $x + 2 \ge 0$, $f = -(x - 1) + (x + 2) = 3$.
- $x \ge 1$: දෙක ම ඍණ නොවේ, $f = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$.
ප්‍රස්තාරය $x = -2$ හි දී අගය $3$ දක්වා අඩු වී, $x = 1$ දක්වා $3$ හි ම පැවතී, ඉන්පසු වැඩි වේ. කුඩාම අගය $3$ වන අතර විශාලතම අගයක් නැත.
පිළිතුර: $x < -2$ සඳහා $f(x) = -2x - 1$; $-2 \le x < 1$ සඳහා $3$; $x \ge 1$ සඳහා $2x + 1$. පරාසය $[3, \infty)$.
Example: $|2x - 4| = x$ විසඳන්න.
$x \ge 2$ සඳහා $|2x - 4| = 2x - 4$ වන අතර $x < 2$ සඳහා $4 - 2x$ වේ.
$x \ge 2$ අවස්ථාව: $2x - 4 = x$ න් $x = 4$, $4 \ge 2$ බැවින් වලංගු ය.
$x < 2$ අවස්ථාව: $4 - 2x = x$ න් $x = \tfrac{4}{3}$, $\tfrac{4}{3} < 2$ බැවින් වලංගු ය.
පිළිතුර: $x = \tfrac{4}{3}$ හෝ $x = 4$.
Exam tip: "මාපාංක සහිත සමීකරණය විසඳන්න" ප්‍රශ්නවල සෑම විට ම අවස්ථාවලට බෙදා, සෑම පිළිතුරක් ම අදාළ අවස්ථාවේ කොන්දේසියට එරෙහිව පරීක්ෂා කරන්න. තම අවස්ථාවෙන් පිටත වැටෙන පිළිතුරු ප්‍රතික්ෂේප කරන්න. ඛණ්ඩිත ප්‍රස්තාර සඳහා කෙළවර ලක්ෂ්‍ය අසමානතා ලකුණු පවසන ලෙස ම හිස් හෝ පිරවූ ලෙස සලකුණු කරන්න.