ආකලන නියමය සහ ගුණන මූලධර්මය මගින් ප්‍රතිඵල ගණන් කර, ක්‍රමාරෝපිත $n!$ සහ එහි සහානුයාත සම්බන්ධය $n! = n\,(n-1)!$ භාවිත කරන ආකාරය.
"විවිධ ක්‍රම කීයකින් ... කළ හැකි ද?" යනුවෙන් බොහෝ ගැටලු අසනු ලැබේ. ක්‍රම දහස් ගණනක් ඇති විට ඒ සියල්ල ලැයිස්තුගත කිරීම ප්‍රායෝගික නොවේ; එබැවින් නීති කිහිපයක් භාවිත කෙරේ. ඒවා ගණන් කිරීමේ මූලධර්ම වන අතර, සංකරණ සහ සංයෝජන සියල්ල ම ගොඩනැගෙන්නේ ඒවා මත ය.
ඇඳුම් කට්ටලයක් යනු කමිසයක් සහ කලිසමක් යැයි සිතන්න. කමිස $3$ ක් සහ කලිසම් $4$ ක් ඇති විට, සෑම කමිසයක් ම කලිසම් $4$ න් ඕනෑම එකක් සමඟ ඇඳිය හැකි බැවින් ඇඳුම් කට්ටල $3 \times 4 = 12$ ක් ඇත.
ගුණන මූලධර්මය. කාර්යයක් පියවර කිහිපයකින් කරන්නේ නම් සහ පළමු පියවර ක්‍රම $m_1$ කින් ද, (පළමු පියවර කළ ආකාරය කුමක් වුව) දෙවන පියවර ක්‍රම $m_2$ කින් ද, මෙසේ $k$ වන පියවර ක්‍රම $m_k$ කින් ද කළ හැකි නම්, මුළු කාර්යය ක්‍රම $$m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$$ කින් කළ හැකි ය. පියවර සියල්ල ම කළ යුතු විට ("සහ") මෙය භාවිත කරන්න.
$A$ නගරයේ සිට $B$ නගරයට විවිධ බස් රථ $3$ කින් හෝ විවිධ දුම්රිය $2$ කින් යා හැකි යැයි සිතන්න. ඔබ බසයක් හෝ දුම්රියක් එකක් පමණක් භාවිත කරන බැවින්, ක්‍රම $3 + 2 = 5$ ක් ඇත.
ආකලන නියමය. කාර්යයක් ක්‍රම $m$ කින් හෝ වෙනත් ක්‍රම $n$ කින් කළ හැකි නම් සහ කිසිම ක්‍රමයක් දෙකෙහි ම ගණන් නොවේ නම්, ක්‍රම $m + n$ ක් ඇත. අවස්ථා එකවර සිදු විය නොහැකි විකල්ප ("හෝ") වන විට මෙය භාවිත කරන්න.
උදාහරණය: $3$-ඉලක්කම් සංඛ්‍යා ($100$ සිට $999$ දක්වා) කොපමණ ද? සියය ස්ථානයේ ඉලක්කම $1,\dots,9$ න් ඕනෑම එකක් විය හැකි ය ($0$ මුලින් තැබිය නොහැකි නිසා ක්‍රම $9$ කි). දහය ස්ථානයේ ඉලක්කම $0,\dots,9$ න් ඕනෑම එකක් (ක්‍රම $10$) වන අතර ඒකක ස්ථානයේ ඉලක්කම ද එසේ ම ය (ක්‍රම $10$). ගුණන මූලධර්මයෙන් සංඛ්‍යා $9 \times 10 \times 10 = 900$ ක් ඇත.
උදාහරණය: ඉලක්කම් දෙක ම ඔත්තේ හෝ ඉලක්කම් දෙක ම ඉරට්ටේ වූ $2$-ඉලක්කම් සංඛ්‍යා කොපමණ ද? දෙක ම ඔත්තේ: $5 \times 5 = 25$ සංඛ්‍යා. දෙක ම ඉරට්ටේ: දහය ස්ථානය $2,4,6,8$ (ක්‍රම $4$) සහ ඒකක ස්ථානය $0,2,4,6,8$ (ක්‍රම $5$) වන බැවින් සංඛ්‍යා $20$ කි. කිසිදු සංඛ්‍යාවක් ලැයිස්තු දෙකේ ම නොමැති බැවින්, ආකලන නියමයෙන් $25 + 20 = 45$.
පේළියක ද්‍රව්‍ය පිළියෙල කිරීමේ දී අනුයාත නිඛිලවල ගුණිත ලැබේ. $n \in \mathbb{Z}^+$ සඳහා $n$ හි ක්‍රමාරෝපිතය $$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 3 \times 2 \times 1$$ ලෙස අර්ථ දැක්වේ. එබැවින් $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$, $6! = 720$, $7! = 5040$. තවද $0! = 1$ ලෙස නිර්වචනය කෙරේ.
සහානුයාත සම්බන්ධය මෙසේ ය: $$n! = n,(n-1)! \qquad (n \ge 1).$$ $n = 1$ ආදේශ කළ විට $1! = 1 \times 0!$ ලැබෙන බැවින් $0! = 1$ යනු සාධාරණ නිර්වචනයකි. මෙයින් ලැබෙන ප්‍රයෝජනයක් නම් දිගු පොදු කොටස කැපී යාම ය: $$\frac{n!}{(n-3)!} = n(n-1)(n-2), \qquad \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$$ $10!$ සහ $7!$ සම්පූර්ණයෙන් ගණනය නොකරන්න; පළමුව කපා හරින්න.
උදාහරණය: $\dfrac{10!}{7!,3!}$ අගය සොයන්න. $10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7!$ ලෙස ලියන්න; එවිට $\dfrac{10!}{7!,3!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{6} = 120$.
උදාහරණය: $n! + (n+1)! = n!,(n+2)$ බව පෙන්වන්න. $(n+1)! = (n+1),n!$ භාවිත කරන්න. එවිට $n! + (n+1)! = n!,[1 + (n+1)] = n!,(n+2)$.
Exam tip: ක්‍රමාරෝපිත සමීකරණ සහ සාධනවල දී ප්‍රසාරණය නොකර, ඉහත $n!,(n+2)$ හි මෙන් ඇති කුඩාම ක්‍රමාරෝපිතය පොදු සාධකයක් ලෙස ගන්න. $n \in \mathbb{Z}^+$ (හෝ $n \ge 0$) බව සෑම විට සිතට ගෙන, ක්‍රමාරෝපිතයක් ඍණ සංඛ්‍යාවක් මත පිහිටන ඕනෑම විසඳුමක් ඉවත දමන්න.
එක් ස්ථානයකට කොන්දේසියක් ඇති විට, මුලින් එය පුරවා, ඉන් පසු ඉතිරි නිදහස් ස්ථාන පුරවන්න.
උදාහරණය: $1,2,3,4,5,6$ ඉලක්කම්වලින් ඉලක්කමක් නැවත නොයොදා $4$-ඉලක්කම් ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා කොපමණ සෑදිය හැකි ද? මුලින් ඒකක ඉලක්කම පුරවන්න: $2, 4$ හෝ $6$ නිසා ක්‍රම $3$ කි. ඉන්පසු දහස් ස්ථානයට තෝරාගැනීම් $5$ ක්, සියය ස්ථානයට $4$ ක්, දහය ස්ථානයට $3$ ක් ඉතිරි වේ. මුළු ගණන $3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$.