අවතලතාව සහ නතිවර්තන ලක්ෂ්‍ය
දෙවන ව්‍යුත්පන්නය උපයෝගී කරගෙන වක්‍රයක් ඉහළට හෝ පහළට අවතල වන ප්‍රාන්තර තීරණය කර, අවතලතාව වෙනස් වන නතිවර්තන ලක්ෂ්‍ය සොයන ආකාරය.
වක්‍රයක් නැමෙන ආකාරය
වක්‍ර දෙකක් ම වැඩි වෙමින් පැවතිය හැකි වුවත් ඒවා ඉතා වෙනස් ලෙස පෙනිය හැකි ය: එකක් පාත්‍රයක් මෙන් ඉහළට නැමෙන අතර අනෙක කන්දක් මෙන් පහළට නැමේ. මෙම නැමීම අවතලතාව නම් වේ. එය පාලනය වන්නේ අනුක්‍රමණය වෙනස් වන ආකාරයෙනි; අනුක්‍රමණය වන $f'$ හි වෙනස් වීමේ ශීඝ්‍රතාව දෙවන ව්‍යුත්පන්නය $f''$ වේ.
- $f''(x) > 0$: අනුක්‍රමණය වැඩි වන බැවින් වක්‍රය ඉහළට අවතල වේ (එය ජලය රඳවයි; ස්පර්ශකවලට ඉහළින් පිහිටයි).
- $f''(x) < 0$: අනුක්‍රමණය අඩු වන බැවින් වක්‍රය පහළට අවතල වේ (එය ජලය හැලී යයි; ස්පර්ශකවලට පහළින් පිහිටයි).
දෙවන ව්‍යුත්පන්න පරීක්ෂාවට හේතුව ද මෙයයි: ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක $f'' > 0$ යනු පාත්‍රයක පතුල (අවමයක්) ද $f'' < 0$ යනු කන්දක මුදුන (උපරිමයක්) ද වේ.
නතිවර්තන ලක්ෂ්‍ය
නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක් යනු වක්‍රයේ අවතලතාව ඉහළට සිට පහළටත්, පහළට සිට ඉහළටත් වෙනස් වන ලක්ෂ්‍යයයි. $f''$ සන්තතික නම් මෙයින් අදහස් වන්නේ:
- $f''(a) = 0$ සහ
- $x = a$ හි දී $f''$ හි ලකුණ වෙනස් වීමයි.
කොන්දේසි දෙක ම අවශ්‍ය වේ. උදාහරණයක් ලෙස $f(x) = x^4$ සඳහා $f''(x) = 12x^2$ නිසා $f''(0) = 0$; නමුත් දෙපස ම $f''$ ධන බැවින් වක්‍රය සෑම තැන ම ඉහළට අවතල වන අතර $(0, 0)$ නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක් නොවේ.
නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක ස්පර්ශකය වක්‍රය හරහා යයි. එහි දී $f'(a) = 0$ ද නම් ස්පර්ශකය තිරස් වන අතර එය ස්ථාවර නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයකි; $y = x^3$ හි $(0, 0)$ එවැන්නකි.
ක්‍රමය
- $f''(x)$ සොයා $f''(x) = 0$ විසඳන්න.
- සෑම මූලයක ම දෙපස $f''$ හි ලකුණ පරීක්ෂා කරන්න; $f'$ සඳහා කළාක් මෙන් ලකුණු සටහනක් භාවිතා කරන්න.
- ලකුණ වෙනස් වීමෙන් නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක් ලැබේ; එහි $y$-ඛණ්ඩාංකය $f$ වලින් සොයන්න.
- වක්‍රය ඉහළට අවතල සහ පහළට අවතල වන ප්‍රාන්තර ප්‍රකාශ කරන්න.
Example: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ සඳහා අවතලතාව සහ නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යය සොයන්න. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ සහ $f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$. $x < 2$ විට $f'' < 0$ නිසා වක්‍රය පහළට අවතල ය; $x > 2$ විට $f'' > 0$ නිසා ඉහළට අවතල ය. $x = 2$ හි දී $f''$ හි ලකුණ වෙනස් වන අතර $f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$; එබැවින් නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යය $(2, 4)$ වේ. (පහළට අවතල කොටසේ ඇති $(1, 6)$ උපරිමය සහ ඉහළට අවතල කොටසේ ඇති $(3, 2)$ අවමය සසඳන්න.)
Example: $f(x) = x^4 - 6x^2$ හි නතිවර්තන ලක්ෂ්‍ය සොයන්න. $f'(x) = 4x^3 - 12x$ සහ $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)$. $x < -1$ විට $f''$ ධන, $-1 < x < 1$ විට ඍණ, $x > 1$ විට ධන වේ; එබැවින් මූල දෙක ම හි ලකුණ වෙනස් වේ. $f(\pm 1) = 1 - 6 = -5$. නතිවර්තන ලක්ෂ්‍ය $(-1, -5)$ සහ $(1, -5)$ වේ. වක්‍රය $x < -1$ සහ $x > 1$ හි ඉහළට අවතල ය; $-1 < x < 1$ හි පහළට අවතල ය.
Example: $f(x) = x^3 + ax^2 + 5x$ ට $x = 2$ හි නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක් ඇත්නම් $a$ සොයන්න. $f''(x) = 6x + 2a$; $f''(2) = 12 + 2a = 0$ මගින් $a = -6$. $f''(x) = 6x - 12$ හි ලකුණ $x = 2$ හි දී වෙනස් වන බව පරීක්ෂා කරන්න: එසේ ය. එබැවින් $a = -6$.
$f'' = 0$ ප්‍රමාණවත් නොවන්නේ ඇයි
$f''(a) = 0$ නම්, දෙපස ම $f''$ හි ලකුණ තවමත් පරීක්ෂා කළ යුතු ය. එවැනි ලක්ෂ්‍යයක නතිවර්තනයක් නොපැවතිය හැකි බව $f(x) = x^4$ පෙන්වයි; පැවතිය හැකි බව $f(x) = x^3$ ($f''(x) = 6x$ හි ලකුණ වෙනස් වේ) පෙන්වයි.
Exam tip: "$x = a$ හි වක්‍රයට නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක් ඇති බව පෙන්වන්න" යන ප්‍රශ්නයට කරුණු දෙකක් අවශ්‍ය ය: $f''(a) = 0$ සහ $f''$ හි ලකුණ වෙනස් වීම (දෙපස ලකුණ දෙන්න). $f''(a) = 0$ පමණක් ලිවීමෙන් ලකුණු නැති වේ. අවතලතා ප්‍රතිඵල දළ සටහන් අඳින විට ද භාවිතා වේ: සෑම නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයක් ම සලකුණු කර ඒ අතර වක්‍රය නැමෙන දිශාව දක්වන්න.