ශ්‍රිත දෙකක් එකකට සංයෝග කිරීම, f∘g හා g∘f ඒවායේ වසම් සමඟ සෙවීම සහ නොදන්නා ශ්‍රිතයක් පසුපසට වැඩ කර සෙවීම.
$g$ මගින් $x$ ව $g(x)$ බවට පත් කර, $f$ මගින් එය $f(g(x))$ බවට පත් කරන්නේ නම්, සංයුක්ත යන්ත්‍රය සංයුක්ත ශ්‍රිතය $f \circ g$ ය: $$(f \circ g)(x) = f(g(x)).$$ එය දකුණේ සිට කියවන්න: මුලින් $g$ ද, දෙවනුව $f$ ද ක්‍රියා කරයි.
Example: $f(x) = 2x + 1$ හා $g(x) = x^2$ යැයි ගනිමු. $f \circ g$ හා $g \circ f$ සොයන්න.
$(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$.
$(g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
පිළිතුර: $fg(x) = 2x^2 + 1$ හා $gf(x) = 4x^2 + 4x + 1$. ඒවා වෙනස් බැවින් පිළිවෙළ වැදගත් ය.
$(f \circ g)(x)$ පවතින්නේ $x$ යනු $g$ හි වසමට අයත් වන අතර $g(x)$ යනු $f$ හි වසමට අයත් වන විට පමණි. වසම සෑම විට ම මුල් ශ්‍රිතවලින් සොයා, ඉන්පසු සූත්‍රය සුළු කරන්න. සුළු කළ සූත්‍රයෙන් වසම නොකියවන්න; සුළු කිරීමෙන් සීමාවක් සැඟවිය හැකි බැවිනි.
Example: $f(x) = \sqrt{x}$ හා $g(x) = x - 4$, දෙක ම ස්වාභාවික වසම් සහිතව ගනිමු. $f \circ g$ හා $g \circ f$ ඒවායේ වසම් සමඟ සොයන්න.
$(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}$. $g$ ට ඕනෑම තාත්ත්වික $x$ ගත හැකි නමුත් $f$ ට ආදානය $\ge 0$ විය යුතු ය: $x - 4 \ge 0$. වසම $[4, \infty)$.
$(g \circ f)(x) = \sqrt{x} - 4$. $f$ සඳහා $x \ge 0$ විය යුතු අතර $g$ ට ඕනෑම ප්‍රතිදානයක් ගත හැකි ය. වසම $[0, \infty)$.
පිළිතුර: $[4, \infty)$ මත $fg(x) = \sqrt{x-4}$; $[0, \infty)$ මත $gf(x) = \sqrt{x} - 4$.
Example: $x \ne -1$ සඳහා $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ යැයි ගනිමු. $f \circ f$ හා එහි වසම සොයන්න.
$f(f(x)) = \dfrac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1} = \dfrac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2x+1}{x+1}} = \dfrac{x}{2x + 1}$.
වසම සඳහා, අභ්‍යන්තර $f$ නිසා $x \ne -1$ වන අතර, අභ්‍යන්තර අගය $\dfrac{x}{x+1}$ $-1$ නොවිය යුතු ය: $\dfrac{x}{x+1} = -1 \Rightarrow x = -x - 1 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2}$.
පිළිතුර: $(f \circ f)(x) = \dfrac{x}{2x + 1}$, වසම $\mathbb{R} \setminus {-1, -\tfrac{1}{2}}$. සුළු කළ සූත්‍රයෙන් පමණක් බැලූ විට $x = -1$ නොපවතින බව සැඟවෙයි.
$g$ හා $f \circ g$ දන්නා විට $f$ සෙවීම. $u = g(x)$ ගන්න, $x$ ව $u$ ඇසුරෙන් විසඳන්න, $f(g(x))$ ව $u$ ඇසුරෙන් නැවත ලියන්න.
$f$ හා $f \circ g$ දන්නා විට $g$ සෙවීම. $f$ හි නීතිය යොදා $f(g(x))$ ලියා $g(x)$ සඳහා විසඳන්න.
Example: $g(x) = 2x + 1$ හා $f(g(x)) = 4x^2 + 4x + 3$. $f(x)$ සොයන්න.
$4x^2 + 4x = (2x+1)^2 - 1$ බව දකින්න; එබැවින් $f(g(x)) = (2x + 1)^2 - 1 + 3 = (2x+1)^2 + 2$. $u = 2x + 1$ ගත් විට $f(u) = u^2 + 2$.
පිළිතුර: $f(x) = x^2 + 2$.
Exam tip: ප්‍රශ්න පත්‍රවල බොහෝ විට $f \circ g$ දී වසම අසයි, නැතහොත් $fg(x) = gf(x)$ විසඳීමට කියයි. සුළු කිරීමට පෙර $f(g(x))$ සම්පූර්ණයෙන් ලියන්න, වසම වෙන ම දක්වන්න. සමීකරණයක සෑම විසඳුමක් ම වසමට අයත් දැයි පරීක්ෂා කරන්න.