අතාත්ත්වික ඒකකය $i$ හඳුනාගෙන, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම, තාත්ත්වික හා අතාත්ත්වික කොටස් සමාන කිරීම, ප්‍රතිබද්ධය $\bar z$ සහ එහි නීති භාවිත කිරීම.
තාත්ත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවේ $x^2 = -1$ සමීකරණයට විසඳුමක් නැත; තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක වර්ගය කිසි විටෙක ඍණ නොවේ. එබැවින් අතාත්ත්වික ඒකකය $i$ නම් නව සංඛ්‍යාවක් මෙසේ අර්ථ දක්වමු: $$i^2 = -1.$$ සෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ම $z = x + iy$ ($x, y \in \mathbb{R}$) ලෙස ලියයි. $x$ එහි තාත්ත්වික කොටස $\operatorname{Re} z$ ද $y$ එහි අතාත්ත්වික කොටස $\operatorname{Im} z$ ද වේ ($\operatorname{Im} z$ යනු $iy$ නොව තාත්ත්වික සංඛ්‍යාව $y$ බව සලකන්න). සියලු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කුලකය $\mathbb{C}$ වේ; තාත්ත්වික $x$ යනු $x + 0i$ නිසා $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ වේ. $x = 0$ සහ $y \ne 0$ නම් $z = iy$ ශුද්ධ අතාත්ත්වික සංඛ්‍යාවකි.
$i$ හි බල සෑම හතරකට වරක් පුනරාවර්තනය වේ: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, ඉන්පසු $i^5 = i$ නැවත ලැබේ. එබැවින් $i^n$ සෙවීමට $n$ ය $4$ න් බෙදා ශේෂය භාවිත කරන්න; ඍණ $n$ සඳහා ද මෙය සත්‍ය වේ (උදා: $i^{-1} = \dfrac{1}{i} = -i$).
සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් සමාන වන්නේ ඒවායේ තාත්ත්වික කොටස් සමාන වී සහ අතාත්ත්වික කොටස් ද සමාන වන විට පමණි. එබැවින් එක් සංකීර්ණ සමීකරණයකින් තාත්ත්වික සමීකරණ දෙකක් ලැබේ: $$x_1 + iy_1 = x_2 + iy_2 \iff x_1 = x_2 \ \text{සහ}\ y_1 = y_2.$$ විශේෂයෙන් $x + iy = 0$ යනු $x = 0$ සහ $y = 0$ යන්නයි.
$i$ සාමාන්‍ය අක්ෂරයක් ලෙස සලකා $i^2 = -1$ යොදන්න: $$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,$$ $$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$$
උදාහරණය: $(2 + 3i)(1 - 2i)$ සුළු කරන්න. ප්‍රසාරණය කරන්න: $2 - 4i + 3i - 6i^2$. $i^2 = -1$ නිසා මෙය $2 - i + 6 = 8 - i$ වේ.
$z = x + iy$ හි ප්‍රතිබද්ධය $\bar z = x - iy$ වේ (අතාත්ත්වික කොටසේ ලකුණ වෙනස් කරන්න). සංඛ්‍යාවක් එහි ප්‍රතිබද්ධයෙන් ගුණ කිරීමෙන් $i$ ඉවත් වේ: $$z \bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2.$$ මෙය ඍණ නොවන තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවකි. බෙදීමේ දී ලවය සහ හරය හරයේ ප්‍රතිබද්ධයෙන් ගුණ කරන්න (කරණිවල හරය පරිමේය කිරීමට සමාන අදහසකි): $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar z_2}{z_2 \bar z_2}.$$
උදාහරණය: $\dfrac{3 + 4i}{1 - 2i}$ යන්න $x + iy$ ආකාරයට ලියන්න. ලවය සහ හරය $1 + 2i$ න් ගුණ කරන්න: $\dfrac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \dfrac{3 + 6i + 4i + 8i^2}{1 + 4} = \dfrac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$.
උදාහරණය: $(x + iy)(2 - i) = 5 + 5i$ වන පරිදි තාත්ත්වික $x, y$ සොයන්න. බෙදන්න: $x + iy = \dfrac{5 + 5i}{2 - i} = \dfrac{(5+5i)(2+i)}{5} = (1 + i)(2 + i) = 2 + i + 2i + i^2 = 1 + 3i$. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමානතාවෙන් $x = 1$ සහ $y = 3$ වේ.
සියලු $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ සඳහා: $$\bar{\bar z} = z, \quad \overline{z_1 \pm z_2} = \bar z_1 \pm \bar z_2, \quad \overline{z_1 z_2} = \bar z_1 \bar z_2, \quad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar z_1}{\bar z_2}\ (z_2 \ne 0).$$ තවද $z + \bar z = 2x = 2\operatorname{Re} z$, $z - \bar z = 2iy = 2i\operatorname{Im} z$ වන අතර $z$ තාත්ත්වික වන්නේ $z = \bar z$ වන විට පමණි.
$\overline{z_1 z_2} = \bar z_1 \bar z_2$ සාධනය. $z_1 = a + bi$ සහ $z_2 = c + di$ යැයි ගනිමු. එවිට $z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$, එබැවින් $\overline{z_1 z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i$. අනෙක් පැත්තෙන් $\bar z_1 \bar z_2 = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (ad + bc)i$. මේ දෙක සමාන වේ. එකතුවේ නීතිය ද මෙසේ ම සාධනය කළ හැකි ය.
ගුණිත නීතිය නැවත නැවත යෙදීමෙන් $\overline{z^n} = (\bar z)^n$ ලැබේ. එබැවින් $P(z)$ යනු තාත්ත්වික සංගුණක ඇති බහුපදයක් ද $P(\alpha) = 0$ ද නම්, $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ වේ: $P$ හි තාත්ත්වික නොවන මූල ප්‍රතිබද්ධ යුගල ලෙස පවතී.
උදාහරණය: $z^3 - 5z^2 + 9z - 5 = 0$ හි එක් මූලයක් $2 + i$ ය. අනෙක් මූල සොයන්න. සංගුණක තාත්ත්වික නිසා $2 - i$ ද මූලයකි. $(z - 2 - i)(z - 2 + i) = (z-2)^2 + 1 = z^2 - 4z + 5$ ලැබේ; එම වර්ගජ සාධකයෙන් ඝන සමීකරණයේ පද බෙදේ: $z^3 - 5z^2 + 9z - 5 = (z - 1)(z^2 - 4z + 5)$. මූල $1$, $2 + i$ සහ $2 - i$ වේ.
$\sqrt{a + bi}$ සෙවීමට, තාත්ත්වික $x, y$ සඳහා $(x + iy)^2 = a + bi$ ලෙස ගන්න. තාත්ත්වික හා අතාත්ත්වික කොටස් සමාන කිරීමෙන් $x^2 - y^2 = a$ සහ $2xy = b$ ලැබේ; මෙම තාත්ත්වික සමීකරණ දෙක විසඳන්න.
උදාහරණය: $-5 + 12i$ හි වර්ගමූල සොයන්න. $(x+iy)^2 = -5 + 12i$ යැයි ගනිමු; එවිට $x^2 - y^2 = -5$ සහ $2xy = 12$, එනම් $y = \dfrac{6}{x}$. එවිට $x^2 - \dfrac{36}{x^2} = -5$, එබැවින් $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$, එනම් $(x^2 + 9)(x^2 - 4) = 0$. $x$ තාත්ත්වික නිසා $x^2 = 4$, $x = \pm 2$; එවිට $y = \pm 3$. වර්ගමූල $2 + 3i$ සහ $-2 - 3i$ වේ (පරීක්ෂාව: $(2+3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$).
ඍණ විවේචකයක් ඇති වර්ගජ සමීකරණ ද වර්ගමූලවලින් විසඳේ: $z^2 + 2z + 5 = 0$ සඳහා $z = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$, එනම් ප්‍රතිබද්ධ යුගලයකි.
Exam tip: හරයේ $i$ කිසි විටෙක නොතබන්න: ප්‍රතිබද්ධයෙන් ගුණ කර $(c+di)(c-di) = c^2 + d^2$ යන පේළිය පෙන්වන්න. "තාත්ත්වික $x$ සහ $y$ සොයන්න" ඇසූ විට සමීකරණය $\text{(තාත්ත්වික)} + i,\text{(තාත්ත්වික)} = 0$ ආකාරයට ලියා, තාත්ත්වික හා අතාත්ත්වික කොටස් වෙන වෙන ම සමාන කරන්න. ප්‍රතිබද්ධ නීති සාධනයේ දී $z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$ ලෙස ගෙන දෙපැත්තම ප්‍රසාරණය කරන්න.