වෘත්තයක සමීකරණය
කේන්ද්‍රය සහ අරය දී ඇති විට වෘත්තයක සමීකරණය ලිවීම, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ න් කේන්ද්‍රය සහ අරය කියවීම, ලක්ෂ්‍ය තුනක් හරහා යන වෘත්තය සහ දී ඇති විෂ්කම්භයක් සහිත වෘත්තය සෙවීම.
වෘත්තයක් යනු කුමක් ද
වෘත්තයක් යනු තලයක නියත ලක්ෂ්‍යයක සිට සමාන දුරකින් පිහිටි සියලු ලක්ෂ්‍යවල කුලකයයි. නියත ලක්ෂ්‍යය කේන්ද්‍රය ද එම දුර අරය $r$ ද වේ. ඛණ්ඩාංක ජ්‍යාමිතියේ දී දුර සූත්‍රය භාවිතයෙන් මෙම වාක්‍යය සමීකරණයක් බවට හරවා ගනිමු.
කේන්ද්‍රය $C(a, b)$ ද වෘත්තය මත ඕනෑ ම ලක්ෂ්‍යයක් $P(x, y)$ ද යැයි ගනිමු. එවිට $CP = r$ ය; එබැවින් $CP^2 = r^2$: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$ මෙය කේන්ද්‍ර-අරය ආකාරය වේ. කේන්ද්‍රය මූල ලක්ෂ්‍යය නම් එය $x^2 + y^2 = r^2$ වේ.
උදාහරණය: කේන්ද්‍රය $(3, -2)$ සහ අරය $4$ වූ වෘත්තයේ සමීකරණය සොයන්න. මෙහි $a = 3$, $b = -2$, $r = 4$ ය; එබැවින් $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$. ප්‍රසාරණය කළ විට $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16$, එනම් $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$.
සාමාන්‍ය ආකාරය
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ ප්‍රසාරණය කර $g = -a$, $f = -b$, $c = a^2 + b^2 - r^2$ ලෙස ලියන්න. එවිට සාමාන්‍ය ආකාරය ලැබේ: $$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0.$$ නිරීක්ෂණය කළ යුතු කරුණු දෙකකි: $x^2$ සහ $y^2$ හි සංගුණක සමාන ය; $xy$ පදයක් නැත. මෙම වර්ගයේ ඕනෑ ම සමීකරණයක, $x^2$ සහ $y^2$ හි සංගුණක බෙදා $1$ කර ගත් පසු, වෘත්තයක් නිරූපණය වන අතර එහි කේන්ද්‍රය $(-g, -f)$ ද අරය $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ ද වේ. මේවා ලබා ගැනීමට $x$ සඳහා ද $y$ සඳහා ද වර්ගය සම්පූර්ණ කරන්න (වර්ගජ ශ්‍රිත ඒකකයේ මෙන්): $(x+g)^2 + (y+f)^2 = g^2 + f^2 - c$. දකුණු පස ධන විය යුතු ය; $g^2 + f^2 - c = 0$ නම් "වෘත්තය" යනු $(-g, -f)$ ලක්ෂ්‍යය පමණි; එය ඍණ නම් තාත්ත්වික ලක්ෂ්‍ය නැත.
උදාහරණය: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ හි කේන්ද්‍රය සහ අරය සොයන්න. $2g = -4$ සහ $2f = 6$ සමඟ සසඳන්න; එබැවින් $g = -2$, $f = 3$, $c = -12$. කේන්ද්‍රය $(-g, -f) = (2, -3)$ ද $r = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ ද වේ.
උදාහරණය: $x^2 + y^2 + 6x - 4y + k = 0$ තාත්ත්වික වෘත්තයක් වන්නේ $k$ හි කුමන අගයන් සඳහා ද? මෙහි $g = 3$, $f = -2$, $c = k$ ය; එබැවින් $g^2 + f^2 - c = 13 - k > 0$ විය යුතු ය, එනම් $k < 13$.
ලක්ෂ්‍ය තුනක් හරහා යන වෘත්තය
සාමාන්‍ය ආකාරයේ දී වෘත්තයකට නොදන්නා රාශි තුනක් ($g$, $f$, $c$) ඇත; එබැවින් එය මත ලක්ෂ්‍ය තුනක් දී ඇත්නම් වෘත්තය නිර්ණය වේ. ක්‍රමය:
- සෑම ලක්ෂ්‍යයක් ම $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ හි ආදේශ කර රේඛීය සමීකරණ තුනක් ලබා ගන්න.
- ඒවා $g$, $f$, $c$ සඳහා විසඳන්න ($c$ ඉවත් කිරීමට යුගල අඩු කරන්න).
- සමීකරණය ලියන්න; අවශ්‍ය නම් කේන්ද්‍රය සහ අරය ද සොයන්න.
කෙටි ක්‍රමයක්: කේන්ද්‍රය ලක්ෂ්‍ය තුනට සමදුරින් පිහිටන නිසා එය සෑම ජ්‍යාවක ම ලම්බ සමච්ඡේදකය මත පිහිටයි. ලම්බ සමච්ඡේදක දෙකක් ඡේදනය කිරීමෙන් කේන්ද්‍රය කෙලින් ම ලැබේ.
උදාහරණය: $A(1, 2)$, $B(5, 6)$ සහ $C(7, 2)$ හරහා යන වෘත්තය සොයන්න. $A$ සහ $C$ හි $y$ සමාන නිසා $AC$ හි ලම්බ සමච්ඡේදකය $x = 4$ වේ; කේන්ද්‍රය $(4, k)$ ය. $A$ සහ $B$ වෙත ඇති දුරවල් සමාන කළ විට: $9 + (2-k)^2 = 1 + (6-k)^2$, එබැවින් $13 - 4k = 37 - 12k$, $k = 3$. කේන්ද්‍රය $(4, 3)$, $r^2 = 9 + 1 = 10$ ද වෘත්තය $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 10$, එනම් $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 15 = 0$ ද වේ.
දී ඇති විෂ්කම්භයක් සහිත වෘත්තය
$A(x_1, y_1)$ සහ $B(x_2, y_2)$ විෂ්කම්භයක අන්ත ද $P(x, y)$ වෘත්තයේ වෙනත් ඕනෑ ම ලක්ෂ්‍යයක් ද නම්, $\angle APB = 90^\circ$ (අර්ධ වෘත්තයක කෝණය) වේ; එබැවින් අනුක්‍රමණ $m_{PA}, m_{PB} = -1$ කොන්දේසිය සපුරන අතර එය සුළු කළ විට $$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$$ ලැබේ.
උදාහරණය: $(1, 2)$ සහ $(5, -4)$ යා කරන විෂ්කම්භය සහිත වෘත්තය සොයන්න. $(x-1)(x-5) + (y-2)(y+4) = 0$ ප්‍රසාරණය කළ විට $x^2 - 6x + 5 + y^2 + 2y - 8 = 0$, එනම් $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0$. (එහි කේන්ද්‍රය $(3, -1)$ අන්ත දෙකේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වේ; එසේ විය යුතු ම ය.)
Exam tip: "සමීකරණය වෘත්තයක් නිරූපණය කරන බව පෙන්වා එහි කේන්ද්‍රය සහ අරය සොයන්න" හෝ "දී ඇති ලක්ෂ්‍ය තුනක් හරහා යන වෘත්තයේ සමීකරණය සොයන්න" යනු I පත්‍රයේ ඉතා සුලභ ආරම්භක ප්‍රශ්නයකි. $x^2$ සහ $y^2$ හි සංගුණකය $1$ නොවේ නම් (උදා: $2x^2 + 2y^2 + \dots$) මුලින් ම ඒ සංගුණකයෙන් බෙදන්න; $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ අගයන් ආදේශ කර ලියන්න, එවිට පරීක්ෂකවරයාට පියවර අනුගමනය කළ හැකි ය. අක්ෂයක් ස්පර්ශ කරන වෘත්තවල $r$ = කේන්ද්‍ර ඛණ්ඩාංකයේ නිරපේක්ෂ අගය වේ: $x$-අක්ෂය ස්පර්ශ කරන්නේ නම් $r = |b|$, $y$-අක්ෂය ස්පර්ශ කරන්නේ නම් $r = |a|$.