අනුකලනය මගින් ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය: චාප, කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩ, කේතු සහ අර්ධ ගෝල
වෘත්ත චාපයක, කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක, ඝන සහ කුහර කේතුවක සහ ඝන සහ කුහර අර්ධ ගෝලයක ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය ව්‍යුත්පන්න කර භාවිත කරන ආකාරය සහ ඒවා අනෙක් වස්තු සමඟ සංයුක්ත කිරීම.
ක්‍රමය
අඛණ්ඩ වස්තුවක අංශු ලැයිස්තුගත කළ නොහැකි බැවින් වස්තුව සියුම් අවයවවලට කපන්න. එක් එක් අවයවයට ස්කන්ධය $dm$ ඇති අතර එහි ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය අප භාවිත කරන අක්ෂයේ සිට $x$ දුරින් ඇත. සියලු අවයවවල ඝූර්ණ එකතු කිරීමෙන් $$\bar{x} = \frac{\int x,dm}{\int dm}$$ ලැබේ. පියවර:
- අක්ෂය තෝරා සමමිතිය භාවිත කරන්න: $G$ සමමිති අක්ෂය මත ඇති බැවින් සොයා ගත යුත්තේ එක් ඛණ්ඩාංකයක් පමණි.
- ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය දන්නා කුඩා අවයවයක් (සියුම් තැටියක්, සියුම් වළල්ලක්, චාපයේ කුඩා කැබැල්ලක්, ත්‍රිකෝණයකට ආසන්න සියුම් කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක්) තෝරන්න.
- $dm$ විචල්‍යය ඇසුරෙන් ලියන්න (ඒකාකාර ඝනත්වයක් ඇති වස්තුවක $dm$ අවයවයේ දිග, වර්ගඵලය, පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය හෝ පරිමාවට සමානුපාතික වේ) සහ එහි කේන්ද්‍රය සඳහා $x$ ලියන්න.
- සීමා අතර $\int x,dm$ සහ $\int dm$ අනුකලනය කර බෙදන්න.
වෘත්ත චාපය සහ කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩය
අරය $r$ වූ ඒකාකාර වෘත්ත චාපයක් කේන්ද්‍රය $O$ හි $2\alpha$ කෝණයක් සාදයි යැයි ගෙන, $x$-අක්ෂය එහි සමමිති අක්ෂය දිගේ තබන්න (කෝණය $\theta$ අක්ෂයේ සිට $-\alpha$ සිට $\alpha$ දක්වා මනිනු ලැබේ). චාපයේ අවයවයක දිග $r,d\theta$ වන අතර එය $x = r\cos\theta$ හි ඇත. මුළු දිග $2r\alpha$. එබැවින් $$\bar{x} = \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha} r\cos\theta \cdot r,d\theta}{2r\alpha} = \frac{r^2 \cdot 2\sin\alpha}{2r\alpha} = \frac{r\sin\alpha}{\alpha}.$$ අර්ධ වෘත්තාකාර චාපයක් සඳහා $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ සහ $\bar{x} = \dfrac{2r}{\pi}$ වන අතර එය විෂ්කම්භයේ කේන්ද්‍රයේ සිට මැනේ.
අරය $r$ සහ කෝණය $2\alpha$ වූ කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩයක් $d\theta$ කෝණයේ සියුම් කේන්ද්‍රික ඛණ්ඩවලට කපන්න. සෑම එකක් ම වර්ගඵලය $\tfrac{1}{2}r^2,d\theta$ වූ ත්‍රිකෝණයකට ආසන්න වන අතර එහි ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය $O$ සිට $\dfrac{2}{3}r$ දුරින්, එනම් $x = \dfrac{2r}{3}\cos\theta$ හි ඇත. මුළු වර්ගඵලය $r^2\alpha$. එබැවින් $$\bar{x} = \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha} \tfrac{2r}{3}\cos\theta \cdot \tfrac{1}{2}r^2,d\theta}{r^2\alpha} = \frac{2r\sin\alpha}{3\alpha}.$$ අර්ධ වෘත්තාකාර ආස්තරයක් සඳහා ($\alpha = \dfrac{\pi}{2}$): $\bar{x} = \dfrac{4r}{3\pi}$.
කේතු සහ අර්ධ ගෝල
අක්ෂය $x$ ලෙස ගෙන, වස්තුව එයට ලම්බ සියුම් තැටි හෝ වළලුවලට පෙති කපන්න.
- ඝන කේතුව (උස $h$, පාද අරය $r$), $x$ ශීර්ෂයේ සිට මැනීමෙන්: $x$ දුරින් ඇති තැටියේ අරය $\dfrac{r}{h}x$ ද පරිමාව $\pi\dfrac{r^2}{h^2}x^2,dx \propto x^2,dx$ ද වේ. එබැවින් $\bar{x} = \dfrac{\int_0^h x^3,dx}{\int_0^h x^2,dx} = \dfrac{h^4/4}{h^3/3} = \dfrac{3h}{4}$ ශීර්ෂයේ සිට, එනම් පාදයේ සිට $\dfrac{h}{4}$.
- කුහර කේතුව (වක්‍ර පෘෂ්ඨය): ශීර්ෂයේ සිට $x$ දුරින් ඇති වළල්ලේ පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය $\propto x,dx$ වේ, එබැවින් $\bar{x} = \dfrac{\int_0^h x^2,dx}{\int_0^h x,dx} = \dfrac{h^3/3}{h^2/2} = \dfrac{2h}{3}$ ශීර්ෂයේ සිට, එනම් පාදයේ සිට $\dfrac{h}{3}$.
- ඝන අර්ධ ගෝලය (අරය $r$), $x$ පැතලි මුහුණතේ කේන්ද්‍රය $O$ සිට මැනීමෙන්: $x$ දුරින් ඇති තැටියේ අරය $\sqrt{r^2 - x^2}$ ද පරිමාව $\pi(r^2 - x^2),dx$ ද වේ. එබැවින් $\bar{x} = \dfrac{\int_0^r x(r^2 - x^2),dx}{\int_0^r (r^2 - x^2),dx} = \dfrac{r^4/4}{2r^3/3} = \dfrac{3r}{8}$.
- කුහර අර්ධ ගෝලය: අක්ෂයේ සිට $\theta$ කෝණයේ ඇති වළල්ලේ පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය $2\pi r\sin\theta \cdot r,d\theta$ වන අතර එය $x = r\cos\theta$ හි ඇත. එබැවින් $\bar{x} = \dfrac{\int_0^{\pi/2} r\cos\theta\sin\theta,d\theta}{\int_0^{\pi/2}\sin\theta,d\theta} = \dfrac{r/2}{1} = \dfrac{r}{2}$.
Example: අරය $r$ වූ අර්ධ වෘත්තාකාර ඒකාකාර කම්බියක ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය විෂ්කම්භයේ කේන්ද්‍රයේ සිට $\dfrac{2r}{\pi}$ බව පෙන්වන්න. කේන්ද්‍රය $O$ මූල ලක්ෂ්‍යය ද සමමිති අක්ෂය $x$-අක්ෂය ද ලෙස ගන්න. අක්ෂයේ සිට $\theta$ කෝණයේ ඇති කම්බි අවයවයක දිග $r,d\theta$ වන අතර එය $x = r\cos\theta$ හි ඇත; $-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$. මුළු දිග $\pi r$. එබැවින් $\bar{x} = \dfrac{\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r\cos\theta \cdot r,d\theta}{\pi r} = \dfrac{r^2[\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}}{\pi r} = \dfrac{2r^2}{\pi r} = \dfrac{2r}{\pi}$.
Example: ඒකාකාර ඝන අර්ධ ගෝලයක ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය එහි පැතලි මුහුණතේ කේන්ද්‍රයේ සිට $\dfrac{3r}{8}$ බව පෙන්වන්න. පැතලි මුහුණතේ සිට $x$ දුරින් ඇති තැටියේ ඝනකම $dx$ ද අරය $\sqrt{r^2 - x^2}$ ද වන බැවින් එහි ස්කන්ධය $(r^2 - x^2),dx$ ට සමානුපාතික වේ. එවිට $\int_0^r (r^2 - x^2),dx = r^3 - \dfrac{r^3}{3} = \dfrac{2r^3}{3}$ සහ $\int_0^r x(r^2 - x^2),dx = \dfrac{r^4}{2} - \dfrac{r^4}{4} = \dfrac{r^4}{4}$. එනයින් $\bar{x} = \dfrac{r^4/4}{2r^3/3} = \dfrac{3r}{8}$.
Example: අරය $3\ \text{cm}$ වූ ඝන අර්ධ ගෝලයක පැතලි මුහුණත මත (කේතුවේ පාදය පැතලි මුහුණත සමඟ සමපාත වන සේ) එම ද්‍රව්‍යයෙන් ම සෑදූ උස $6\ \text{cm}$ සහ පාද අරය $3\ \text{cm}$ වූ ඝන කේතුවක් සවි කර ඇත. පැතලි මුහුණතට ඉහළින් ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයේ උස සොයන්න. පරිමා ($\pi$ අත්හරිමින්): අර්ධ ගෝලය $\dfrac{2}{3} \times 27 = 18$, $G$ පැතලි මුහුණතට $\dfrac{3 \times 3}{8} = \dfrac{9}{8}$ පහළින්; කේතුව $\dfrac{1}{3} \times 9 \times 6 = 18$, $G$ එයට $\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ ඉහළින්. ඉහළට ධන ලෙස ගත් විට $\bar{y} = \dfrac{18 \times \tfrac{3}{2} + 18 \times \left(-\tfrac{9}{8}\right)}{36} = \dfrac{27 - 20.25}{36} = \dfrac{3}{16}$. ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය පැතලි මුහුණතට $\dfrac{3}{16}\ \text{cm}$ ඉහළින් ඇත.
Exam tip: "$\ldots$ බව සාධනය කරන්න" සහ "ඒකාකාර ඝන අර්ධ ගෝලයක ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය $\ldots$ සිට $\tfrac{3r}{8}$ බව පෙන්වන්න" ආකාරයේ ප්‍රශ්න II පත්‍රයේ පැමිණෙන අතර සම්පූර්ණ ලකුණු ලැබෙන්නේ පිරිසිදු ව්‍යුත්පන්නයකටයි: අවයවය නම් කර, එහි ස්කන්ධය (හෝ පරිමාව) සහ $x$ දුර දී, සීමා ලියා, ඉන්පසු ලවය සහ හරය අනුකලනය කරන්න. ප්‍රශ්නය මෙම වස්තු පමණක් භාවිත කරන්නේ නම් ඉහත ප්‍රතිඵල උපුටා දැක්විය හැකි ය; උපුටා දක්වන ප්‍රතිඵලයක් භාවිත කිරීමට පෙර පැහැදිලි ව ලිවිය යුතු ය. වස්තු දෙකක් ඔබේ මූල ලක්ෂ්‍යයේ දෙපස ඇති විට ලකුණු ගැන ප්‍රවේශම් වන්න.