කෝණ සමච්ඡේදක සහ සරල ලක්ෂ්‍ය පථ
රේඛා දෙකක් අතර කෝණවල සමච්ඡේදක දෙකේ සමීකරණ ලියා, සුළු කෝණය සමච්ඡේදනය කරන්නේ කුමක් දැයි තීරණය කර, චලිත ලක්ෂ්‍යයක ලක්ෂ්‍ය පථය $x$ සහ $y$ හි සමීකරණයක් ලෙස ලබා ගැනීම.
රේඛා දෙකක් අතර කෝණවල සමච්ඡේදක
ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් කෝණ හතරක් සාදයි; ඒවා ප්‍රතිමුඛ කෝණ යුගල දෙකකි. කෝණ සමච්ඡේදක නම් රේඛා දෙකක් මගින් මෙම කෝණ අඩකට බෙදේ. ලක්ෂ්‍යයක් සමච්ඡේදකයක් මත පිහිටන්නේ එය රේඛා දෙකෙන් සමාන දුරකින් පිහිටන විට පමණි.
දුර සූත්‍රය අනුව $(x, y)$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට පළමු රේඛාවට දුර $\dfrac{|a_1x + b_1y + c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}}$ ද දෙවැන්නට දුර $\dfrac{|a_2x + b_2y + c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ ද වේ. මාපාංක ලකුණු ඉවත් කිරීමෙන් සමීකරණ දෙකක්, එනම් සමච්ඡේදක දෙක ලැබේ: $$\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm,\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.$$ ඒවා එකිනෙකට ලම්බක වන අතර රේඛා හමුවන ලක්ෂ්‍යය හරහා යයි.
කුමන සමච්ඡේදකය කුමක් ද? $c_1$ සහ $c_2$ නියත ධන වන සේ සමීකරණ දෙක ලියන්න (අවශ්‍ය තැන $-1$ න් ගුණ කරන්න). එවිට මූල ලක්ෂ්‍යය රේඛා දෙකේ ම ධන පැත්තේ පිහිටයි; "$+$" ලකුණ සහිත සමච්ඡේදකය මූල ලක්ෂ්‍යය අඩංගු කෝණය හරහා යයි. $a_1a_2 + b_1b_2 < 0$ නම් එම කෝණය සුළු කෝණයකි; $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ නම් එය මහා කෝණයකි. (පැහැදිලි නැතිනම්, සමච්ඡේදකය සහ එක් රේඛාවක් අතර කෝණය $\tan\theta$ මගින් සොයන්න.)
උදාහරණය: $3x - 4y + 5 = 0$ සහ $5x + 12y + 13 = 0$ අතර කෝණවල සමච්ඡේදක සොයන්න. දිග $\sqrt{9 + 16} = 5$ සහ $\sqrt{25 + 144} = 13$ වන අතර නියත දෙක ම ධන ය. සමීකරණය $\dfrac{3x - 4y + 5}{5} = \pm\dfrac{5x + 12y + 13}{13}$. "$+$" සමඟ: $39x - 52y + 65 = 25x + 60y + 65$; එබැවින් $14x - 112y = 0$, එනම් $x - 8y = 0$. "$-$" සමඟ: $39x - 52y + 65 = -25x - 60y - 65$; එබැවින් $64x + 8y + 130 = 0$, එනම් $32x + 4y + 65 = 0$. $a_1a_2 + b_1b_2 = 15 - 48 = -33 < 0$ නිසා $x - 8y = 0$ සමච්ඡේදකය සුළු කෝණය (සහ මූල ලක්ෂ්‍යය අඩංගු කෝණය) සමච්ඡේදනය කරයි.
උදාහරණය: $4x + 3y - 6 = 0$ සහ $3x + 4y + 8 = 0$ රේඛා දෙකෙන් සමාන දුරින් පිහිටි $y$-අක්ෂය මත ලක්ෂ්‍ය සොයන්න. ලක්ෂ්‍යය $(0, b)$ යැයි ගනිමු. දුර $\dfrac{|3b - 6|}{5}$ සහ $\dfrac{|4b + 8|}{5}$ වේ. සමාන කරන්න: $3b - 6 = \pm(4b + 8)$. $+$ ගත් විට: $b = -14$. $-$ ගත් විට: $7b = -2$; එබැවින් $b = -\dfrac27$. ලක්ෂ්‍ය $(0, -14)$ සහ $\left(0, -\dfrac27\right)$.
ලක්ෂ්‍ය පථ
ලක්ෂ්‍ය පථය යනු දී ඇති කොන්දේසියක් සපුරන සියලු ලක්ෂ්‍යවල කුලකය යි. එය සෙවීමට:
- චලිත ලක්ෂ්‍යය $P(x, y)$ යැයි ගන්න.
- දුර සූත්‍රය, අනුක්‍රමණ, විභජන සූත්‍රය හෝ වර්ගඵල සූත්‍රය භාවිතයෙන් කොන්දේසිය සමීකරණයක් බවට හරවන්න.
- $x$ සහ $y$ අතර සම්බන්ධයකට සුළු කර එය කුමන වක්‍රයක් දැයි පවසන්න.
චලිත ලක්ෂ්‍යය $x = 3t + 1$, $y = 2t - 1$ වැනි පරාමිතියක් $t$ ඇසුරින් දී ඇත්නම්, එක් සමීකරණයක් $t$ සඳහා විසඳා අනෙකෙහි ආදේශ කරන්න.
උදාහරණය: $P$ ලක්ෂ්‍යය $A(1, 2)$ සහ $B(5, -2)$ සිට සමාන දුරින් පිහිටයි නම් $P$ හි ලක්ෂ්‍ය පථය සොයන්න. $PA^2 = PB^2$ මගින් $(x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-5)^2 + (y+2)^2$. ප්‍රසාරණයෙන්, $-2x - 4y + 5 = -10x + 4y + 29$; එබැවින් $8x - 8y = 24$, එනම් $x - y = 3$. මෙය $AB$ හි ලම්බ සමච්ඡේදකය වේ (එය මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය $(3, 0)$ හරහා යන අතර, අනුක්‍රමණය $1$ වන එය අනුක්‍රමණය $-1$ වන $AB$ ට ලම්බක ය).
උදාහරණය: ලක්ෂ්‍යයක් $(3t + 1,\ 2t - 1)$ ලෙස චලනය වේ. එහි ලක්ෂ්‍ය පථය සොයන්න. $x = 3t + 1$ නිසා $t = \dfrac{x - 1}{3}$. එවිට $y = 2\cdot\dfrac{x-1}{3} - 1$; එබැවින් $3y = 2x - 2 - 3$, එනම් $2x - 3y = 5$; මෙය සරල රේඛාවකි.
උදාහරණය: $A$ ලක්ෂ්‍යය $x$-අක්ෂය මත ද $B$ ලක්ෂ්‍යය $y$-අක්ෂය මත ද $AB = 6$ වන සේ චලනය වේ. $AB$ හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය $M$ හි ලක්ෂ්‍ය පථය සොයන්න. $A(a, 0)$, $B(0, b)$ සහ $a^2 + b^2 = 36$ යැයි ගනිමු. මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය $(x, y) = \left(\dfrac a2, \dfrac b2\right)$ ය; එබැවින් $a = 2x$, $b = 2y$ සහ $4x^2 + 4y^2 = 36$. ලක්ෂ්‍ය පථය $x^2 + y^2 = 9$ වන අතර එය මූල ලක්ෂ්‍යය කේන්ද්‍රය කරගත්, අරය $3$ වූ වෘත්තයකි.
Exam tip: ලක්ෂ්‍ය පථ ප්‍රශ්නවල "ලක්ෂ්‍ය පථයේ ඕනෑ ම (සාමාන්‍ය) ලක්ෂ්‍යයක් $P(x, y)$ යැයි ගනිමු" යැයි ලියා, "$x - y = 3$ සරල රේඛාව" වැනි ලෙස ලක්ෂ්‍ය පථය නම් කරමින් අවසන් කරන්න. $P$ චලිත ඛණ්ඩයක් ස්ථාවර අනුපාතයකට බෙදන විට, චලනය වන $B$ ලක්ෂ්‍යය සහිත ගැටලුවේ මෙන් විභජන සූත්‍රයෙන් $x$ සහ $y$ ලියා පරාමිතිය ඉවත් කරන්න. සමච්ඡේදක ප්‍රශ්නවල ලකුණු දෙක ම ලියා, ප්‍රශ්නයට අවශ්‍ය එක (සුළු කෝණය, හෝ මූල ලක්ෂ්‍යය වැනි දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් අඩංගු කෝණය) පවසන්න; නිවැරදි සමච්ඡේදකයකට ලකුණු එක බැගින් හිමි වේ.