සමාන්තර ශ්‍රේණියක සාධාරණ පදය සහ පළමු $n$ පදවල ඓක්‍යය, $a$, $d$, $n$ සෙවීමේ ගැටලු සහ පරාසයක සංඛ්‍යාවල ඓක්‍යය සෙවීම.
සමාන්තර ශ්‍රේණියක් (AP) තුළ සෑම පදයක් ම ඊට පෙර පදයට එකම සංඛ්‍යාවක් එකතු කිරීමෙන් ලැබේ. එම සංඛ්‍යාව පොදු අන්තරය $d$ වේ.
$$U_{r+1} - U_r = d \quad\text{සෑම } r \text{ සඳහා ම}.$$
උදාහරණයක් ලෙස $3, 7, 11, 15, \dots$ හි පළමු පදය $a = 3$ ද $d = 4$ ද වේ; $20, 17, 14, \dots$ හි $d = -3$ ය (අඩු වන සමාන්තර ශ්‍රේණියකි). අනුක්‍රමයක් සමාන්තර ශ්‍රේණියක්දැයි පරීක්ෂා කිරීමට අනුයාත පද අතර අන්තර සියල්ල සමානදැයි බලන්න.
$a$ සිට ආරම්භ කර සෑම විට ම $d$ එකතු කරන්න: $U_1 = a$, $U_2 = a + d$, $U_3 = a + 2d$. $n$ වන පදයට ළඟා වීමට $d$ වාර $n - 1$ ක් එකතු කළ යුතු ය: $$U_n = a + (n - 1)d .$$
Example: සමාන්තර ශ්‍රේණියක තුන්වන පදය $11$ ද අටවන පදය $31$ ද වේ. පළමු පදය සහ පොදු අන්තරය සොයන්න. එවිට $a + 2d = 11$ සහ $a + 7d = 31$. අඩු කිරීමෙන් $5d = 20$; එබැවින් $d = 4$ සහ $a = 11 - 8 = 3$. පරීක්ෂාව: $U_8 = 3 + 7(4) = 31$.
$S_n$ ඉදිරියට සහ පසුපසට ලියා එකතු කරන්න: $$\begin{aligned} S_n &= a + (a+d) + \dots + (l - d) + l,\ S_n &= l + (l-d) + \dots + (a+d) + a. \end{aligned}$$ සිරස් යුගල $n$ න් සෑම එකක ම ඓක්‍යය $a + l$ වන නිසා $2S_n = n(a + l)$. $l = a + (n-1)d$ ආදේශ කළ විට, $$S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right].$$ අවසාන පදය දන්නා විට පළමු ආකාරයත්, $d$ දන්නා විට දෙවැනි ආකාරයත් භාවිත කරන්න.
Example: ඉහත උදාහරණයේ සමාන්තර ශ්‍රේණිය සඳහා ($a = 3$, $d = 4$) $S_{20}$ සොයන්න. $S_{20} = \dfrac{20}{2}\left[2(3) + 19(4)\right] = 10 \times 82 = 820$.
Example: $5 + 9 + 13 + \dots$ හි ඓක්‍යය $275$ වීමට පද කීයක් අවශ්‍ය ද? මෙහි $a = 5$ සහ $d = 4$ නිසා $S_n = \dfrac{n}{2}\left[10 + 4(n-1)\right] = n(2n + 3)$. $n(2n + 3) = 275$ ලෙස ගන්න; එනම් $2n^2 + 3n - 275 = 0$, එය $(n - 11)(2n + 25) = 0$ ලෙස සාධක වෙන් වේ. $n$ ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිසා $n = 11$.
$100$ ත් $300$ ත් අතර $7$ හි ගුණාකාර සියල්ලේ ඓක්‍යය සෙවීමට පළමු සහ අවසාන ගුණාකාර ($105$ සහ $294$) සොයන්න; ඒවා $d = 7$ වූ සමාන්තර ශ්‍රේණියක් සාදයි. එබැවින් පද ගණන $n = \dfrac{294 - 105}{7} + 1 = 28$ ද ඓක්‍යය $\dfrac{28}{2}(105 + 294) = 5586$ ද වේ.
Exam tip: "$a = \dots$, $d = \dots$" යන්න මුලින් ලියා පසුව සූත්‍රය තෝරන්න. ප්‍රශ්නයක ඓක්‍යය දී පද ගණන ඉල්ලන විට $n$ හි වර්ගජයක් ලැබේ; ඍණ හෝ පූර්ණ නොවන මූලය ප්‍රතික්ෂේප කර ඊට හේතුව සඳහන් කරන්න. "පද සමාන්තර ශ්‍රේණියක ඇති බව පෙන්වන්න" යන්නට පිළිතුරු දිය යුත්තේ $U_{r+1} - U_r = $ නියතයක් බව පෙන්වීමෙනි; පද කීපයක් ලැයිස්තුගත කිරීමෙන් නොවේ.