අනුකලනය, ව්‍යුත්පන්නයේ ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාවලිය ලෙස: ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සහ සම්මත අනුකල

ඒකකය 16 · අනුකලනය

ව්‍යුත්පන්නයේ ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාවලිය ලෙස ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නය සොයා, අනුකල නියතය එකතු කර, සම්මත අනුකල සහ රේඛීය ගුණ ($f(ax+b)$ ඇතුළත්ව) භාවිත කරන ආකාරය.

ව්‍යුත්පන්නයේ ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාවලිය

ව්‍යුත්පන්නය ගැනීමෙන් $x^3$ යන්න $3x^2$ බවට පත් වේ. අනුකලනය අසන්නේ ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රශ්නයයි: $f(x) = 3x^2$ දී ඇති විට, ව්‍යුත්පන්නය $f$ වන ශ්‍රිතය කුමක් ද? $F'(x) = f(x)$ වන ඕනෑම ශ්‍රිතයක් $F$, $f$ හි ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙහි $F(x) = x^3$ ගැළපේ; එහෙත් $x^3 + 5$ සහ $x^3 - 7$ ද ගැළපේ, මන්ද ව්‍යුත්පන්නය ගත් විට නියතයක් නැති වී යයි. එබැවින් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයක් සමඟ සෑම විටම නිදහස් නියතයක් ඇත; අපි මෙසේ ලියමු: $$\int f(x),dx = F(x) + c.$$ මෙය $f$ හි අනිශ්චිත අනුකලය වේ. $\int$ සංකේතය "අනුකලය" ලෙස කියවන අතර, $f(x)$ අනුකලනය කරන ශ්‍රිතය ද, $dx$ විචල්‍යය ද පෙන්වයි; $c$ යනු අනුකල නියතය වේ. අනිශ්චිත අනුකලයක $c$ කිසි විටෙක මඟ නොහරින්න.

පිළිතුරක් පරීක්ෂා කිරීම පහසු ය: එහි ව්‍යුත්පන්නය ගන්න. අනුකලනය කළ ශ්‍රිතය ම ලැබෙන්නේ නම් පිළිතුර නිවැරදි ය.

සම්මත අනුකල

සෑම ව්‍යුත්පන්න ප්‍රතිඵලයක් ම පසුපසට කියවීමෙන් සම්මත අනුකල ලැබේ:

• $n \ne -1$ සඳහා $\displaystyle\int x^n,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ (ඝාතය එකකින් වැඩි කර, අලුත් ඝාතයෙන් බෙදන්න). ඍණ සහ භාග $n$ සඳහා ද මෙය සත්‍ය වේ.
• $\displaystyle\int \dfrac{1}{x},dx = \ln|x| + c$ ($n = -1$ අවස්ථාව). $x<0$ විට ද $\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}$ වන නිසා මාපාංකය අවශ්‍ය වේ.
• $\displaystyle\int e^x,dx = e^x + c$, $\displaystyle\int a^x,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + c$.
• $\displaystyle\int \cos x,dx = \sin x + c$, $\displaystyle\int \sin x,dx = -\cos x + c$ (ඍණ ලකුණ ගැන සැලකිලිමත් වන්න).
• $\displaystyle\int \sec^2 x,dx = \tan x + c$, $\displaystyle\int \operatorname{cosec}^2 x,dx = -\cot x + c$.
• $\displaystyle\int \sec x\tan x,dx = \sec x + c$, $\displaystyle\int \operatorname{cosec} x\cot x,dx = -\operatorname{cosec} x + c$.
• $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + c$, $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x + c$.

නීති: එකතු, නියත සහ $f(ax+b)$

ව්‍යුත්පන්නය රේඛීය වන නිසා අනුකලනය ද රේඛීය වේ: $$\int [af(x) + bg(x)],dx = a\int f(x),dx + b\int g(x),dx.$$ එබැවින් එකතුවක් පදයෙන් පදය අනුකලනය කර, නියත සාධක පිටතට ගත හැකි ය. ගුණිතයක් හෝ භාග ප්‍රකාශනයක් මුලින් ඝාතවල එකතුවක් ලෙස ලියන්න; උදාහරණයක් ලෙස $\dfrac{x^2+1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$. අනුකල සඳහා ගුණිත නීතියක් නැත: $\int x \cdot x^2,dx$ යනු $\int x,dx \times \int x^2,dx$ නොවේ.

රේඛීය අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයක් සඳහා, දාම නීතිය පසුපසට යෙදීමෙන් $$\int f(ax+b),dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + c$$ ලැබේ; මෙහි $F$ යනු $f$ හි ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයකි. උදාහරණ ලෙස $\int \cos(5x),dx = \dfrac{1}{5}\sin 5x + c$ සහ $\int (2x+1)^5,dx = \dfrac{(2x+1)^6}{12} + c$. $\dfrac{1}{a}$ සාධකය දාම නීතියෙන් ලැබෙන $a$ සමතුලිත කරයි.

Example: $\int \left(3x^2 - \dfrac{4}{x} + 2\sqrt{x}\right)dx$ සොයන්න. $2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$ ලෙස ලියා පදයෙන් පදය අනුකලනය කරන්න: $3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4\ln|x| + 2 \cdot \dfrac{x^{3/2}}{3/2} + c = x^3 - 4\ln|x| + \dfrac{4}{3}x^{3/2} + c$.

Example: $\int (2x+1)^5,dx$ සහ $\int \sin 3x,dx$ සොයන්න. පළමුවැන්නට $a = 2$ සහ $\int u^5,du = \dfrac{u^6}{6}$ නිසා පිළිතුර $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+1)^6}{6} + c = \dfrac{(2x+1)^6}{12} + c$ වේ. දෙවැන්නට $\int \sin 3x,dx = -\dfrac{1}{3}\cos 3x + c$. $\dfrac{(2x+1)^6}{12}$ අවකලනය කළ විට $\dfrac{6 \cdot 2(2x+1)^5}{12} = (2x+1)^5$ ලැබෙන නිසා පළමු පිළිතුර තහවුරු වේ.

නියතය සෙවීම

අමතර තොරතුරක් දී ඇත්නම් $c$ අගය නිර්ණය කළ හැකි ය. $f'(x)$ සහ $f$ හි එක් අගයක් දී ඇති විට, අනුකලනය කර $f(x) + c$ ලබාගෙන, දන්නා ලක්ෂ්‍යය ආදේශ කරන්න.

Example: වක්‍රයක අනුක්‍රමණය $\dfrac{dy}{dx} = 6x - 2$ වන අතර එය $(1, 3)$ හරහා යයි. එහි සමීකරණය සොයන්න. අනුකලනයෙන් $y = 3x^2 - 2x + c$. $(1,3)$ හි දී $3 = 3 - 2 + c$, එබැවින් $c = 2$. වක්‍රය $y = 3x^2 - 2x + 2$ වේ.

Exam tip: Paper I හි "$\int \dfrac{(x+1)^2}{x},dx$ සොයන්න" වැනි ප්‍රශ්නවල මුලින් ප්‍රසාරණය කිරීමට ලකුණු හිමි වේ; භාග ප්‍රකාශනයක් හෝ ගුණිතයක් කෙළින් අනුකලනය කිරීමට උත්සාහ නොකරන්න. අනිශ්චිත අනුකලයක $+c$ සෑම විටම ලියන්න (එයට ලකුණක් හිමි ය), $\ln|x|$ හි මාපාංකය ද ලියන්න. කාලය ඇත්නම් ව්‍යුත්පන්නය ගෙන පරීක්ෂා කරන්න. මෙම ප්‍රවීණතාව පසුව එන සෑම ක්‍රමයකට ම අවශ්‍ය වන නිසා $f(ax+b)$ හි $\dfrac{1}{a}$ පිළිබඳ වැරදි වීම් ප්‍රශ්න පත්‍රය පුරා ලකුණු අහිමි කරයි.